Операции над n-мерными векторами: сложение, умножение, свойства
В статьях ранее мы рассматривали понятие вектора как элемента плоскости или пространства, т.е. геометрического объекта, имеющего конкретные очертания. Однако также возможно взглянуть на понятие с алгебраической точки зрения, когда вектор - уже не отрезок с заданным направлением, а упорядоченный комплекс чисел с определенными свойствами.
n -вектор – упорядоченный набор n действительных чисел.
Записывается в виде строки a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) или столбца a = a 1 a 2 ⋮ a n , где
a i – координаты n-вектора, обозначаемые латинскими буквами и записываемые в скобках.
Размерность n -вектора – это количество его координат. Например, задан n -мерный вектор b → с координатами (2, -5, 3, 9). Заданный вектор является четырёхмерным.
Равные n -векторы – n -векторы, имеющие одну и ту же размерность, а также равенство одноименных координат.
Нулевой вектор – вектор, у которого все координаты равны нулю: 0 = ( 0 , 0 , . . , 0 )
Противоположные векторы – векторы с координатами, равными по модулю, но противоположными по знаку. Например,
a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n )
- a = ( - a 1 , - a 2 , . . . , - a n )
Над n -мерными векторами возможно проведение операций сложения и умножения на число.
Сложение n-векторов
Результатом сложения двух n -мерных векторов будет вектор, координаты которого являются суммой соответствующих координат заданных векторов.
Операции сложения подлежат векторы одинаковой размерности.
Исходные данные: a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) и a = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) .
Результатом будет вектор a + b = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . . , a n + b n ) .
Операция вычитания отдельно не рассматривается, поскольку по сути разностью векторов a и b является сумма векторов а и – b .
Умножение n-вектора на число
Результатом умножения заданного вектора на действительное или комплексное число будет вектор, каждая из координат которого определяется умножением исходной координаты на заданное число.
Исходные данные: a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) и число λ .
Результатом произведения будет:
λ · a = ( λ · a 1 , λ · a 2 , . . . , λ · a n )
Множество всех n -векторов с производимыми действиями умножения на число и сложения составляют линейное пространство.
Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами
Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами полностью сопоставимы с аналогичными операциями над векторами-геометрическими объектами. По сути координаты двухмерных и трехмерных векторов являются координатами вектора на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат.
Свойства операций над n-мерными векторами
Исходные данные: векторы a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) , b = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) , c = ( c 1 , c 2 , . . . , c n ) и действительные или комплексные числа λ , μ .
- Свойство коммутативности: a + b = b + a .
- Свойство ассоциативности: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) .
- Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор): a + 0 = a .
- Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное 1): 1 · а = а
Любой ненулевой вектор а имеет противоположный вектор - а и верным является равенство:
Сочетательное свойство умножения: ( λ · μ ) · a = λ · ( μ · a ) .
Первое распределительное свойство: ( λ + μ ) · a = λ · a + μ · a .
Второе распределительное свойство: λ · ( a + b ) = λ · a + λ · b .
Рассмотри некоторые примеры по теме.
Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , - 1 , ln 5 , 2 . 3 )
Необходимо найти сумму и разность векторов.
Решение
Заданные вектора имеют одинаковую размерность, следовательно, операция сложения выполнима. Для этого найдем сумму координат векторов:
a + b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( 1 2 , - 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( 1 + 1 2 , 2 + ( - 1 ) , 7 + ln 5 , 0 + 2 . 3 ) = = ( 3 2 , 2 - 1 , 7 + ln 5 , 2 . 3 )
Разницей исходных векторов будет являться сумма векторов a и b · ( - 1 ) :
a - b = a + ( - 1 ) · b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( - 1 ) · ( 1 2 , - 1 , ln 5 , 2 . 3 )
Выполним умножение вектора на число:
a - b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( - 1 ) · ( 1 2 , - 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( ( - 1 ) · 1 2 , ( - 1 ) · ( - 1 ) , ( - 1 ) · ln 5 , ( - 1 ) · 2 . 3 ) = = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( - 1 2 , 1 , ln 1 5 , - 2 . 3 )
И совершим действие сложения:
a - b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( - 1 2 , 1 , ln 1 5 , - 2 . 3 ) = = ( 1 + ( - 1 2 ) , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , 0 + ( - 2 . 3 ) ) = = ( 1 2 , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , - 2 . 3 )
Ответ:
a + b = ( 3 2 , 2 - 1 , 7 + ln 1 5 , 2 . 3 ) a - b = ( 1 2 , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , - 2 . 3 )
Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , - 1 , ln 5 , 2 . 3 )
Необходимо найти вектор: a - 2 · ( b + 3 · a )
Решение
Упростим выражение, опираясь на свойства операций над векторами:
a - 2 · ( b + 3 · a ) = a - 2 · b - 6 · a = - 5 · a + ( - 2 ) · b
Определим координаты полученного вектора:
- 5 · a + ( - 2 ) · b = = - 5 · ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( - 2 ) ( 1 2 , - 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( ( - 5 ) · 1 , ( - 5 ) · 2 , ( - 5 ) · 7 , ( - 5 ) · 0 ) + + ( ( - 2 ) · 1 2 , ( - 2 ) · ( - 1 ) , ( - 2 ) · ln 5 , ( - 2 ) · 2 . 3 ) = = ( - 5 , - 5 2 , - 35 , 0 ) + ( - 1 , 2 , ln 1 25 , - 4 . 6 ) = = ( - 5 + ( - 1 ) , - 5 2 + 2 , - 35 + ln 1 25 , 0 + ( - 4 . 6 ) ) = = ( - 6 , - 5 2 + 2 , - 35 + ln 1 25 , - 4 . 6 )
Ответ:
a - 2 · ( b + 3 · a ) = ( - 6 , - 5 2 + 2 , - 35 + ln 1 25 , - 4 . 6 )
Исходные данные: векторы с = 1 2 - 3 , d = 0 0 3 , e = - 1 - 1 1
Необходимо определить координаты вектора: c + d + 2 e
Решение
Выполним операцию умножения вектора е на число 2, а затем найдем сумму:
c + d + 2 · e = 1 2 - 3 + 0 0 3 + 2 · - 1 - 1 1 = = 1 2 - 3 + 0 0 3 + 2 · ( - 1 ) 2 · ( - 1 ) 2 · 1 = = 1 2 - 3 + 0 0 3 + - 2 - 2 2 = = 1 + 0 + ( - 2 ) 2 + 0 + ( - 2 ) - 3 + 3 + 2 = - 1 0 2
Ответ: c + d + 2 · e = - 1 0 2
Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , - 1 , ln 5 , 2 . 3 ) , f = ( 4 , 11 , 21 )
Необходимо найти вектор: 3 · a + 2 · b - 7 · ( a + f )
Решение
Исходные векторы имеют разную размерность ( а и f ), поэтому выполнить необходимые операции не представляется возможным.
Ответ: невозможно выполнить указанные действия с заданными векторами.