Примеры вычисления производных высших порядков явных функций

Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y зависит от переменной x явным образом: . Дифференцируя функцию по переменной x , получаем производную первого порядка, или просто производную: . В результате получаем новую функцию , которая является производной функции . Дифференцируя эту новую функцию по переменной x , получаем производную второго порядка: . Дифференцируя функцию , получаем производную третьего порядка: . И так далее. Дифференцируя исходную функцию n раз, получаем производную n -го порядка или n-ю производную: .

Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так: ; .

Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков.

Полезные формулы производных n-го порядка

Производные некоторых элементарных функций: ; ; ; ; .

Производная суммы функций: , где – постоянные.

Формула Лейбница производной произведения двух функций: , где – биномиальные коэффициенты.

Пример 1

Найти производные первого и второго порядка следующей функции: .

Находим производную первого порядка. Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу из таблицы производных: . Применяем правило дифференцирования сложной функции: . Здесь . Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные: . Здесь .

Итак, мы нашли производную первого порядка: . Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от производной первого порядка, то есть от функции: . Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой : (П1.1) . Тогда производная второго порядка от исходной функции является производной от функции : .

Находим производную от функции . Это проще сделать с помощью логарифмической производной. Логарифмируем (П1.1): . Теперь дифференцируем: (П1.2) . Но – это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от мы уже нашли. Находим остальнве производные по правилу дифференцирования сложной функции. ; ; . Подставляем в (П1.2): . Отсюда .

Пример 2

Найти производную третьего порядка: .

Находим производную первого порядка. Для этого выносим постоянную за знак производной, используем таблицу производных и применяем правило нахождения производной сложной функции. . Здесь . Итак, мы нашли производную первого порядка: .

Находим производную второго порядка. Для этого находим производную от . Применяем формулу производной дроби. . Производная второго порядка: .

Теперь находим искомую производную третьего порядка. Для этого дифференцируем . ; ; .

Производная третьего порядка равна .

Пример 3

Найти производную шестого порядка следующей функции: .

Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени . Запишем ее в виде многочлена: , где – постоянные коэффициенты.

Далее применим формулу n-й производной степенной функции: . Для производной шестого порядка ( n = 6 ) имеем: . Отсюда видно, что при . При имеем: .

Используем формулу производной суммы функций: . Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени . Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции: . Отсюда . Тогда .

Пример 4

Найти n-ю производную функции .

Пример 5

Найти n-ю производную следующей функции: , где и – постоянные.

В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию (П5.1) , где и – функции от действительной переменной x ; – мнимая единица, . Дифференцируя (П.1) n раз, имеем: (П5.2) . Иногда проще найти n-ю производную от функции . Тогда n-е производные функций и определяются как действительная и мнимая части от n-й производной : ; .

Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию . Здесь мы применили формулу Эйлера , и ввели обозначение . Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле: .

Найдем n-ю производную функции . Для этого применим формулу: . В нашем случае . Тогда .

Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции : , где . Найдем действительную часть функции . Для этого представим комплексное число в показательной форме: , где ; ; . Тогда ; .

Пусть , . Тогда ; . При , , , . И мы получаем формулу n-й производной косинуса: .