Конспект урока по теме "Синус и косинус суммы и разности двух углов" план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Тема урока: « Косинус и синус суммы и разности двух углов».

1. Разработать и закрепить вывод формул для косинуса и синуса суммы и разности двух углов;
2. Способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
3. Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, мел.

1. Организационный момент – 1 мин.

2. Актуализация знаний – 10 мин.

1. Устная работа – 5 мин. (Слайды 2,3)

а)cos (3π/2 + α) = ; б) tg(360 0 – α) = ;

в) sin (π – α) = ; г) sin( π/2 + α) = ;

д) tg ( 2π + α) = ; е) cos ( π/2 – α) = ;

ж) ctg ( π/2 + α ) = ; з) tg ( π + α) = .

а) cos 30 o = б) – 2 tg 2 45 0 =

в) а sin 180 0 = г) 2sin 30 0 =

д) sin 135 0 = е) sin 75 0 =

ж) sin 15 0 = з) cos 105 0 = .

Чтобы вычислить sin 75 0 , надо применить формулу синус суммы, а sin 15 0 формулу синус разности. Эти формулы также применяются в физике.

Задача №1 ( слайд № 4)

На практике часто приходиться двухфазный или трехфазный ток направлять в один проводник. При этом возникает, как показал опыт, "суммарный" переменный ток, мгновенная сила которого равна сумме мгновенных сил слагаемых токов. Точную

величину амплитуды "суммарного" тока, его частоту и фазу смещения не найти, не рассмотрев предварительно свойств тригонометрических функций, связанных со

сложением аргументов.При частоте гармонического тока ν = 50 Гц его круговая частота равна 2 ν, т.е. 314 1/с. Если данный процесс происходит в единой ветви, то результирующий ток, например в фазе , будет складываться из токов: i 1 , i 2 , i 3 .

Задача №2 ( слайд № 5)

При переходе светового луча из одной среды в другую происходит его преломление (рис.5), т.е. отклонение от первоначального направления, причем коэффициент преломления равен отношению sin α 1 ' sin α 2 , где α 1 – угол падения луча на границу сред, α 2 – угол отклонения. При конструировании оптических приборов приходится решать задачи подобные следующей: как надо направить луч на границу двух сред, чтобы угол падения луча превышал угол преломления на данную величину?Если коэффициент преломления равен n, а угол падения больше угла преломления на α о , то отыскание искомого угла падения х сводится к решению уравнения sinx/sin(x – α) = n , которые нельзя решить без знания теорем сложения.

Тема нашего урока « Косинус и синус суммы и разности двух углов».

3. Изучение нового материала – 13 мин.

1. Для начала повторим, как найти площадь треугольника, если известны две стороны и угол между ними. ( Слайд 6)

Рассмотрим ∆АВС (Cлайд 6), ∟А = α;|AC| = b; |AB | = c, тогда S ∆ABC = 1/2bc sinα

2. Рассмотрим произвольный ∆АВС ( слайд 7, 8)

Проведем высоту AD; обозначим ∟BAD = α, ∟DАC = β; |AB| = c, |AC| = b

S ∆ADB = 1/2 ch sinα S ∆ADC = 1/2 bh sinβS ∆ABC = S ∆ADC + S ∆ADB , где S ∆ABC = 1/2 bс sin (α + β)

получим: 1/2 bс sin (α + β) = 1/2 сh sinα + 1/2 bh sinβ, или bc sin(α + β) = ch sinα + bh sinβ

разделим обе части равенства на bc:

sin (α + β) = h/b sinα + h/c sin β, т.к. h/b = cosβ, h/c = cosα из прямоугольных треугольников; то

sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ

3. Выведите формулу синуса разности, косинуса суммы и косинуса разности самостоятельно, используя формулы приведения. Класс разбивается на три группы. Каждая группа получает своё задание.

а) Заменив β на – β получим: sin(α – β) = sin (α +(-ß)) = sinα ∙ cos(-ß) + cosα ∙ sin(-ß)

sin (α – ß) = sinα · cosβ – cosα · sinβ

б) Формула косинуса суммы аргументов может быть выведена из полученной:

cos (α + β)= sin (90 o – (α + β)) = sin ((90 o – α) – β) = sin (90 o – α) sinβ – cos (90 o – α) sinβ = cosα · cosβ – sinα · sinβ

cos(α + ß) = cosα ∙ cosß – sinα ∙ sinß

в) cos (α – ß) = cos(α + (-ß)) = cosα ∙ cos(-ß) – sinα ∙ sin(-ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß

cos (α – ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß

В учебнике стр.261 – 269 найдите, как формулируются доказанные теоремы. Зачитайте.

4.Формирование знаний – 20 мин.

1.Вычислите ( один ученик у доски, другие в тетрадях):

а) sin 75 o = sin (45 o + 30 o ) = sin 45 o · cos30 o + cos 45 o · sin 30 o =

б) sin 15 0 = sin(45 0 – 30 0 ) = sin45 0 ∙ cos30 0 – cos45 0 ∙ sin 30 0

в) cos105 0 = cos( 60 0 + 45 0 ) =

sin ( + х) = – sinx cos ( + х) = – cosx

Самостоятельно, с последующей проверкой по слайду 10.

sin ( + х) = sin · cosx + cos · sinx = 0 · cosx + (– 1) · sinx = – sinx cos ( + х) = cos · cosx + sin · sinx = (– 1) · cosx – 0 · sinx = – cosx

в) Вычислите: sin (x + y), если известно, что

sin x = 3/5, 0 /2 ; cos y = – 3/5, /2

На доске решает один ученик, остальные в тетрадях.

2. Самостоятельная работа по вариантам – 10 мин. (слайд 11)

1. Вычислить: sin (α + β), если sinα =3/5; П/2
2. Вычислите: sin 20 o cos 40 o + cos 20 o sin 40 o
3. Вычислите синус углов: 165 о ; 105 о .
4. Упростите выражение:sin20 o + 2sin 40 o – sin 100 o

1. Вычислить: sin (α – β), если cosα = - 4/5; П
2. Вычислите: cos 47 o cos 17 o + sin 47 o sin 17 o
3. Вычислите косинусы углов: 75 о ; 15 о .
4. Упростите выражение:sin20 o + 2sin 40 o – sin 100 o .

Консультация для 4 задания: представьте углы 20 o , 40 o и 100 o соответственно в виде (30 о – 10 о ); (30 о + 10 о ) и (90 о + 10 о )

Самостоятельную работу учащиеся проверяют друг у друга по готовым ответам и выставляют оценки.

Ответы. (Слайд 12)

1 вариант 2 вариант

5.Итог урока – 1 мин.

1) Домашнее задание. (Слайд 13)

П.9.1, 9.3; № 9.3; 9.8; 9.26(абв); 9.28(вг).

2)Подведение итогов урока .

– Какую тему изучили на уроке?– Результаты самостоятельной работы (решение и ответы заранее подготовлены).– Комментирование и выставление оценок.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Данная разработка поможет учителю при подготовке к уроку, его можно использовать при итоговом повторении в конце 11 класса.

Презентация к уроку . Устная работа 2 - 5 слайды, использование этих формул в физике (слайд 6,7), выведение синуса суммы ( слайды 9 - 12) и самостоятельная работа ( слайды 14,15).

Урок- исследование " Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений".

Презентация к уроку алгебры и начала анализа 10 класс "Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов".

Формулы для дополнительных углов, Синус суммы и синус разности двух углов. конспекты уроков.

В презентации размещен материал полезный как для учителя так и для учеников по данной теме.