Билет Задача по теме «Сумма углов треугольника». В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27 о основанию. Найдите углы треугольника.

1 Билет Точка, прямая, отрезок. Простейшими фигурами в геометрии являются точка и прямая, они не имеют определения, но их можно описать. Точка след от прикосновения острозаточенного карандаша на бумаге, а прямая ровная линия без начала и конца.(показать на рисунке) Следующие за ними фигуры определяются уже через них. Отрезок это часть прямой, ограниченная двумя точками, включает в себя граничные точки (показать на рисунке). Точки могут принадлежать прямой, а могут и не принадлежать ей (показать на рисунке). Из трех точек на прямой, одна всегда лежит между двумя другими. Существует утверждение: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Две прямые на плоскости: 1) могут пересекаться, то есть иметь одну общую точку; 2) могут не пересекаться, то есть не иметь общих точек (показать на рисунке). 2. Первый признак равенства треугольников (сформулировать и пояснить на чертеже). Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Задача по теме «Сумма углов треугольника». В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27 о основанию. Найдите углы треугольника. меньше угла, противолежащего

2 Билет Луч, дополнительные лучи, плоскость и полуплоскость. Луч это часть прямой ограниченная одной точкой (показать на рисунке). Дополнительные лучи это лучи, исходящие из одной точки и составляющие вместе прямую (показать на рисунке). Плоскость одно из неопределяемых понятий геометрии, описательно: ровная поверхность, не имеющая края. Полуплоскость это часть плоскости, ограниченная прямой. Относительно прямой, разбивающей плоскость на две полуплоскости, точки могут лежать в одной полуплоскости, а могут лежать в разных полуплоскостях (показать на рисунке). 2. Второй признак равенства треугольников (сформулировать и пояснить на чертеже). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Задача по теме «Параллельные прямые». Дано: 1 = 60, 2 = 120, 3 = 53, Найти: 4, 5 А) Дано: 1=60 ; 2=120 ; 3=53. Найти: 4, c 4 5 d 3 b a

3 Билет Угол, виды углов, биссектриса угла. Угол это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. Точка называется вершиной угла, а лучи сторонами угла (показать на рисунке). Виды углов: (каждый угол показать на рисунке) Острый градусная мера, которого больше нуля, но меньше 90. Прямой градусная мера, которого равна 90. Тупой градусная мера, которого больше 90, но меньше 180. Развернутый градусная мера, которого равна 180. Биссектриса угла это луч, исходящий из вершины угла, и делящий его на два равных угла (показать на рисунке). 2. Третий признак равенства треугольников (сформулировать и пояснить на чертеже). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Задача по теме «Параллельные прямые». Отрезки АВ и СD диаметры некоторой окружности. Докажите, что прямые АС и ВD параллельны.

4 Билет Треугольник. Виды треугольников. Треугольник это геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков, попарно соединенных между собой (показать на рисунке с обозначением). Треугольники по видам углов делятся на (показать каждый вид на рисунке): Остроугольные треугольники, у которых все углы острые. Прямоугольные треугольники, у которых один угол прямой, два другие острые. Тупоугольные треугольники, у которых один угол тупой, два другие острые. Треугольники по сторонам делятся на: равносторонние (все стороны равны), равнобедренные (только две стороны равны) и разносторонние (стороны не равны). Показать каждый вид треугольников на рисунке. 2. Теорема о высоте равнобедренного треугольника, проведенной к основанию (сформулировать и пояснить на чертеже). Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 3. Задача по теме «Начальные понятия геометрии». Угол МРК является частью угла МРН, равного 105. Найдите угол МРК, если известно, что он в четыре раза меньше угла КРН.

5 Билет Треугольник. Элементы треугольника. Треугольник это геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков, попарно соединенных между собой. (показать на рисунке с обозначением) Элементами треугольника являются медиана, высота и биссектриса (все показать на рисунке). Медиана треугольника это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной высоты. Все три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке. Биссектриса треугольника это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с противоположной стороной. Все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке. Высота треугольника это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. Все три высоты, или их продолжения любого треугольника пересекаются в одной точке. 2. Теорема об угле в 30 в прямоугольном треугольнике (сформулировать и пояснить на чертеже). В прямоугольном треугольнике, катет, лежащий напротив угла в 30 равен половине гипотенузы. 3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». В треугольнике АВС АВ=ВС. Точки М и Н середины сторон АВ и ВС. МD и НЕ перпендикулярны к прямой АС. Докажите, что АMD= CНЕ.

6 Билет Измерение отрезков и углов. Отрезок это часть прямой ограниченная двумя точками, включает в себя граничные точки. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. (привести пример с рисунком) Равные отрезки имеют равные длины. (привести пример с рисунком) Меньший отрезок имеет меньшую длину. (привести пример с рисунком) Длина отрезка, на котором отмечена точка, равна сумме длин отрезков, на которые делит его эта точка (привести пример с рисунком). Угол это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. Углы измеряются в градусах. Равные углы имеют равные градусные меры (привести пример с рисунком) Градусная мера меньшего угла меньше градусной меры большего угла (привести пример с рисунком) Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов (привести пример с рисунком). 2. Теорема о двух прямых перпендикулярных к третьей (сформулировать и пояснить на чертеже). Две прямые, перпендикулярные к одной и той прямой, не пересекаются. 3. Задача по теме «Равнобедренный треугольник». В треугольнике АВС ВАС= ВСА, биссектрисы АА 1 и СС 1 пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.

7 Билет Смежные и вертикальные углы. Смежными углами это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами (показать на рисунке). Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна Вертикальные углы это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (показать на рисунке). Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. 2. Свойство углов равнобедренного треугольника (сформулировать и пояснить на чертеже). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 3. Задача по теме «Окружность». В окружности с центром О проведены три радиуса ОВ, ОС, ОА, АОВ= ВОС. Докажите, что ОАВ= ОСВ.

8 Билет Теорема. Обратная теорема. Доказательство методом от противного. Теорема это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения. Само рассуждение называется доказательством теоремы. Теорема обратная данной это теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением ее условие. Например: Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обратная теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следствие это утверждение, которое выводится непосредственно из теоремы. Например: следствием из теоремы о высоте равнобедренного треугольника является: Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. Доказательство методом от противного заключается в следующем: 1) Делается предположение противоположное тому, что надо доказать. 2) Затем, исходя из предположения, путем рассуждений приходят к противоречию либо с условием, либо с известным фактом. 3) На основании полученного противоречия делается вывод о том, что предположение неверно, а значит верно то, что требовалось доказать. 2. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету(сформулировать и пояснить на чертеже). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 3. Задача по теме «Равнобедренный треугольник». Разность двух сторон тупоугольного равнобедренного треугольника равна 8 см, а его периметр равен 38 см. Найдите стороны треугольника.

9 Билет Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой. Перпендикулярные прямые это две прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла (показать на рисунке). Перпендикуляр к прямой это отрезок, опущенный из точки на прямую под прямым углом. Точка пересечения отрезка и прямой называется основанием перпендикуляра (показать на рисунке). Теоремы: 1) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один. 2) Две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, не пересекаются. 2. Признак равнобедренного треугольника (сформулировать и пояснить на чертеже). Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. 3. Задача по теме «Смежные и вертикальные углы». Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 162. Найдите остальные углы.

10 Билет Равнобедренный треугольник. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона основанием (показать на рисунке). Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (показать на рисунке). Признак равнобедренного треугольника: Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным (показать на рисунке). Теорема о высоте равнобедренного треугольника: Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой (показать на рисунке). Следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника: 1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой (показать на рисунке). 2) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и медианой (показать на рисунке). 2. Теорема о сумме углов треугольника (сформулировать и пояснить на чертеже). Сумма углов треугольника равна Задача по теме «Сумма углов треугольника». Один из внутренних углов треугольника в 3 раза больше другого, а внешний угол, смежный с третьим внутренним углом, равен 100. Найдите все внутренние углы треугольника.

11 Билет Равносторонний треугольник и его свойства. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (показать на рисунке). Свойства равностороннего треугольника: 1) В равностороннем треугольнике все углы равны, каждый по ) В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины совпадают (показать на рисунке). 3) В равностороннем треугольнике все три высоты, медианы и биссектрисы, пересекаются в одной точке, которая называется центром треугольника (показать на рисунке). 2. Обратная теорема об угле в 30 в прямоугольном треугольнике (сформулировать и пояснить на чертеже). Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен Задача по теме «Параллельные прямые». На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н соответственно; А= ВМН=50, С=60. Найдите МНС.

12 Билет Прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник это треугольник, у которого один из углов равен 90. Два другие острые. Стороны образующие прямой угол называются катеты, а сторона, лежащая напротив прямого угла гипотенуза (показать на рисунке). Теоремы о прямоугольном треугольнике: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 (показать на рисунке). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 равен половине гипотенузы (показать на рисунке). Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета равен 30 (показать на рисунке). В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы (показать на рисунке). В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов (показать на рисунке). 2. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку (сформулировать и пояснить на чертеже). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. 3. Задача по теме «Равнобедренный треугольник». В равнобедренном треугольнике угол при основании в 4 раза больше угла между боковыми сторонами. Найдите углы треугольника.

13 Билет Признаки равенства прямоугольных треугольников. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (показать на рисунке). Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому угла другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (показать на рисунке). Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (показать на рисунке). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (показать на рисунке). 2. Свойство вертикальных углов (сформулировать и пояснить на чертеже). Вертикальные углы это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Свойство: Вертикальные углы равны. 3. Задача по теме «Признаки равенства треугольников». На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольники АОВ и АОС равны.

14 Билет Перпендикуляр. Наклонная. Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр к прямой это отрезок, опущенный из точки на данную прямую под прямым углом. Точка пересечения отрезка и прямой называется основанием перпендикуляра (показать на рисунке). Наклонная это отрезок, проведенный из данной точки на данную прямую, отличный от перпендикуляра. Точка пересечения наклонной и прямой называется основанием наклонной (показать на рисунке). Утверждение: Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой (показать на рисунке). Расстояние от точки до прямой это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к этой прямой. (показать на рисунке) Обозначается: (А, ВС) расстояние от точки А до прямой ВС. 2. Свойство биссектрисы угла (сформулировать и пояснить на чертеже). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. 3. Задача по теме «Смежные углы». Углы АВD и АВС смежные, луч ВО биссектриса угла АВD. Найдите ОВD, если АВС=40.

15 Билет Серединный перпендикуляр к отрезку (определение, теорема, обратная теорема, следствие). Серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему (показать на рисунке). Теорема о серединном перпендикуляре: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка (показать на рисунке). Обратная теорема: Каждая точка равноудаленная от концов отрезка лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку (показать на рисунке). Следствие: Множество всех точек плоскости равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку (показать на рисунке). 2. Теорема о внешнем угле треугольника (сформулировать и пояснить на чертеже). Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. 3. Задача по теме «Смежные углы». Один из смежных углов в пять раз меньше другого. Найти эти углы.

16 Билет Равные треугольники. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Утверждения о равных треугольниках (показать на рисунках): 1) Если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника, соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. 2) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов равные стороны. 3) В равных треугольниках соответствующие медианы, высоты и биссектрисы равны. Теорема «Неравенство треугольника»: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон (показать на рисунке). Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона (показать на рисунке). Обратная теорема о соотношениях в треугольнике: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол (показать на рисунке). 2. Теорема о сумме углов прямоугольного треугольника (сформулировать и пояснить на чертеже). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Задача по теме «Равнобедренный треугольник». Найдите периметр треугольника. Если два его угла равны, а две стороны имеют длины 20 см и 10 см.

17 Билет Окружность. Хорды, дуги, углы. Окружность это множество точек плоскости равноудаленных от одной данной, которая называется центром окружности (показать на рисунке). Радиус окружности это отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой (показать на рисунке). Окружность задается своим центром и радиусом. Хорда окружности это отрезок, соединяющий две точки окружности (показать на рисунке). Хорда, проходящая, через центр окружности будет являться ее диаметром (показать на рисунке). Диаметр окружности равен двум ее радиусам (показать на рисунке). Диаметр делит окружность на две полуокружности (показать на рисунке). Дуга окружности это часть окружности, ограниченная двумя точками (показать на рисунке). Дуги измеряются в градусах, также как и углы. Градусная мера полуокружности равна 180, всей окружности Теорема о внешнем угле треугольника (сформулировать и пояснить на чертеже). Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. 3. Задача по теме «Сумма углов треугольника». В треугольнике АВС А=20 о, В=100 о. На стороне АВ отмечена точка D так, что ACD=40 o. Найдите углы треугольника ВСD.