Задание 7 Производная и первообразная

1 Задание 7 Производная и первообразная Физический смысл производной 1.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= 6t 2 48t + 17 (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с. 2.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= 1 2 t3 3t 2 + 2t (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с. 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= t 2 13t + 23 (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с? 4.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= 1 3 t3 3t 2 5t + 3 (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с? Геометрический смысл производной, касательная 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.

2 2. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции f(x) в точке

3 6. На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции положительна? 7. На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции отрицательна? 8. На рисунке изображен график производной функции. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней. 9. На рисунке изображен график производной функции. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

4 10. Прямая параллельна касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания. 11. Прямая является касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания. 12. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax 2 + 2x + 3. Найдите a. 13.Прямая является касательной к графику функции. Найдите. 14. Прямая является касательной к графику функции. Найдите, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Применение производной к исследованию функций 1.На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале ( 6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

5 2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( 8; 3). В какой точке отрезка [ 3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение? 3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( 8; 4). В какой точке отрезка [ 7; 3] f(x) принимает наименьшее значение? 4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( 7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [ 6; 9]. 5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( 18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [ 13;1].

6 6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( 7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( 5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( 11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( 2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

7 10. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( 4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [ 2; 6]. 11. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале ( 5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна На рисунке изображён график производной y = f'(x) функции y = f(x), определённой на интервале ( 4; 8). В какой точке отрезка [ 3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение? 13. На рисунке изображен график производной функции y = f(x). При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [ 4; 2]?

8 14. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале ( 3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале ( 4; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = На рисунке изображён график функции y = F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале ( 3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [ 2; 4]. Первообразная 2. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) F(2), где F(x) одна из первообразных функции f(x).

9 3. На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция F(x)=x x x 15 8 одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. 4. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x)= x 3 27x 2 240x 8одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. 5. На рисунке изображен график некоторой функции Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл f(x) 5 d(x) 1