Окружность, вписанная в многоугольник или угол

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник/угол, если она касается всех сторон этого многоугольника/угла. Тогда многоугольник/угол называется описанным около окружности.

\(\blacktriangleright\) В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника (рис. 1).

Площадь описанного треугольника ищется по формуле \[,\]

где \(p\) – полупериметр.

\(\blacktriangleright\) Если в прямоугольный треугольник вписана окружность, \(a, b\) – катеты, \(c\) – гипотенуза, \(r\) – радиус этой окружности, то верна формула: \[\]

\(\blacktriangleright\) Если в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. И наоборот: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (рис. 2). Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов. Площадь описанного четырехугольника ищется по формуле

где \(p\) – полупериметр.

\(\blacktriangleright\) Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 3).

\(\blacktriangleright\) Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 4).

\(\blacktriangleright\) Если в угол вписана окружность, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла (рис. 5).

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как \(2:3:6\) . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен \(54\) .

Рассмотрим рисунок. Так как четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, четвертая сторона равна \((2x+6x)-3x=5x\) . Тогда можно составить уравнение: \[2x+3x+6x+5x=54\quad\Leftrightarrow\quad 6x=20,25\] (большая сторона равна \(6x\) )

В треугольник \(ABC\) вписана окружность с центром в точке \(O\) , причем \(\angle AOB=110^\circ\) . Найдите \(\angle C\) треугольника \(ABC\) . Ответ дайте в градусах.

Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то \(AO, BO\) – биссектрисы углов \(A, B\) соответственно.

Следовательно, \(\angle BAO+\angle ABO=180^\circ-110^\circ=70^\circ\) .Также \(\angle A+\angle B=2\cdot (\angle BAO+\angle ABO)=140^\circ\) , следовательно, \(\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-140^\circ=40^\circ\) .

В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, \(AB = 3,5\) , \(AD = 4\) , \(BC = 6,5\) . Найдите длину \(CD\) .

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны: \(AB + CD = AD + BC\) , откуда получаем \(3,5 + CD = 4 + 6,5\) , значит, \(CD = 7\) .

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны \(5\) , основание равно \(6\) . Найдите радиус вписанной окружности.

Известно, что для любого треугольника \(S_=p\cdot r\) , где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности. В нашем случае по формуле Герона (полупериметр \(p=8\) ) \(S_=\sqrt=4\cdot 3=12\) . Следовательно, \[r=\dfrac Sp=\dfrac = 1,5\]

Около окружности, радиус которой равен \(3\) , описан многоугольник, периметр которого равен \(20\) . Найдите его площадь.

Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\) , где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности, то \[S=\dfrac2\cdot 3=30\]

Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt3\) . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1 способ. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть \(H\) – точка касания окружности со стороной \(AB\) (то есть \(OH\) – радиус). Следовательно, \(OH\perp AB\) (как часть высоты) и \(OH=\frac13CH\) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины).

Если \(AC=2x=\sqrt3\) , то \(AH=x\) , следовательно, \(CH=\sqrt=x\sqrt3\) , тогда \[OH=\dfrac13\cdot CH=\dfrac13\cdot \sqrt3\cdot \dfrac2=0,5\]

2 способ. Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac4a^2\) . Тогда по формуле \(S=p\cdot r\) , где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности, имеем: \[r=\dfrac Sp=\dfrac =0,5\]

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен \(\dfrac6\) . Найдите сторону этого треугольника.

Если \(AC=2x\) , то \(AH=x\) , следовательно, \(CH=\sqrt=x\sqrt3\) , тогда \[\dfrac6=OH=\dfrac13\cdot CH=\dfrac3x\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad AC=2x=1\]

На этапе подготовки к ЕГЭ старшеклассники повторяют базовые определения и формулы, в том числе и по теме «Окружность, вписанная в многоугольник или угол». Достаточно подробное изучение данного раздела планиметрии осуществляется, как правило, в средней школе. В связи с этим необходимость повторения основных формул и понятий по теме «Окружность, вписанная в угол или многоугольник» на этапе подготовки к ЕГЭ возникает у многих выпускников. Поняв принцип решения подобных заданий, старшеклассники смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед прохождением аттестационного испытания, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска базовых понятий и формул для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, и других параметров. Далеко не всегда их легко найти в Интернете, как и, например, задачи на правильный шестиугольник. А школьного учебника может просто не оказаться под рукой в нужное время. Для того чтобы ликвидировать пробелы в знаниях по этому и другим математическим разделам, обратитесь к образовательному проекту «Школково». На нашем сайте представлен весь необходимый материал, изложенный доступно и понятно. Какими свойствами обладает окружность, вписанная в угол и многоугольник, и какие формулы необходимо знать для успешного решения задач по данной теме? Ответы на эти и другие вопросы вы найдете на сайте «Школково» в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы подготовка к единому госэкзамену была действительно эффективной, рекомендуем также попрактиковаться в решении соответствующих задач. Большая база заданий представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Перечень задач на сайте постоянно дополняется и обновляется.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎