Учебник. Разложение выражений на множители

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде F1 (x) ċ F2 (x) ċ . ċ Fn (x) = 0,

где выражения Fk (x), k = 1, . n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители Fk (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) .

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Разложить на множители многочлен x 5 – 2x 3 + x 2 .

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x 2 . Вынесем его за скобку и получим ответ: x 5 – 2x 3 + x 2 = x 2 (x 3 – 2x + 1).

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы: a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b ) , a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 ) , a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) , a 4 - b 4 = ( a 2 - b 2 ) ( a 2 + b 2 ) = ( a - b ) ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) , a 5 - b 5 = ( a - b ) ( a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + a b 3 + b 4 ) , a n - b n = ( a - b ) ( a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + a n - 4 b 3 + . + a 2 b n - 3 + a b n - 2 + b n - 1 ) , n ∈ ℤ .

Разложить на множители многочлен (x – 2) 4 – (3x + 1) 4 .

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше: ( x - 2 ) 4 - ( 3 x + 1 ) 4 = ( ( x - 2 ) 2 - ( 3 x + 1 ) 2 ) ( ( x - 2 ) 2 + ( 3 x + 1 ) 2 ) = = ( x - 2 - 3 x - 1 ) ( x - 2 + 3 x + 1 ) ( x 2 - 4 x + 4 + 9 x 2 + 6 x + 1 ) = = - ( 2 x + 3 ) ( 4 x - 1 ) ( 10 x 2 + 2 x + 5 ) .

3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Разложить на множители многочлен x 4 + 4x 2 – 1.

Имеем x 4 + 4 x 2 - 1 = x 4 + 2 ċ 2 ċ x 2 + 4 - 4 - 1 = ( x 2 + 2 ) 2 - 5 = ( x 2 + 2 - 5 ) ( x 2 + 2 + 5 ) .

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

• Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
• Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
• Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.

Разложить на множители многочлен 3x 3 – x 2 – 3x + 1.

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3x 3 – x 2 – 3x + 1 = (x – p)(ax 2 + bx + c) = ax 3 + (b – ap)x 2 + (c – bp)x – pc.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов: < a = 3 b - a p = - 1 c - b p = - 3 - p c = 1 Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1.

Итак, многочлен 3x 3 – x 2 – 3x + 1 разлагается на множители: 3x 3 – x 2 – 3x + 1 = (x – 1)(3x 2 + 2x – 1).

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) ċ Pn – 1 (x), где Pn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).

Разложить на множители многочлен x 3 – 5x 2 – 2x + 16.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2) ċ Q (x), где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2).

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Разложить на множители многочлен x 4 – 10x 2 – x + 20.

Преобразуем данный многочлен: x 4 – 10x 2 – x + 20 = x 4 – 5 ċ 2x 2 – x + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2x 2 ) + x 4 – x

Рассмотрим теперь многочлен a 2 – a(1 + 2x 2 ) + x 4 – x, который при a = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета: a 2 – a(1 + 2x 2 ) + x 4 – x = a 2 – a(1 + 2x 2 ) + x(x 3 – 1) = a 2 – a(1 + 2x 2 ) + x(x – 1)(x 2 + x + 1). Следовательно, a1 = x(x – 1), a2 = x 2 + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a 2 – a(1 + 2x 2 ) + x 4 – x = (a – (x 2 – x))(a – (x 2 + x + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5. Получим: x 4 – 10x 2 + x + 20 = (5 – x 2 + x)(5 – x 2 – x – 1) = (x 2 – x – 5)(x 2 + x – 4).