Предел отображения в метрическом пространстве
Подмножества метрического пространства [ править ]
Если [math] (X, \rho) [/math] — метрическое пространство, то [math]\forall\ Y \subset X : (Y, \rho)[/math] , очевидно, тоже метрическое пространство.
Окрестность точки в метрическом пространстве [ править ]
Определение: Пусть [math]x \in A[/math] . Тогда [math]A[/math] — окрестность точки [math]x[/math] , если существует открытый шар [math]V: x \in V \subset A [/math] . При этом [math]A \backslash \[/math] называется проколотой окрестностью точки [math]x[/math] .Окрестность точки [math]x[/math] обозначается как [math]O(x)[/math] , ее проколотая окрестность — [math]\dot(x)[/math] .
Примеры [ править ]- Любой открытый шар [math] V_r(x) [/math] является окрестностью точки [math]x[/math] .
- Числовая прямая — окрестность любого числа.
Предельная точка [ править ]
Определение: Рассмотрим [math]A \subset X[/math] . Тогда [math]b \in X[/math] — предельная точка для [math]A[/math] , если в любой окрестности [math]O(b)[/math] содержится бесконечное число точек, принадлежащих [math]A[/math] . Пример(ы) [ править ]- [math] X = \mathbb R, A = (0; 1);\ 0 \notin A[/math] , [math]0[/math] — предельная точка(как и [math]1[/math] , например).
Предел отображения [ править ]
Так как [math]a[/math] — предельная точка [math]A[/math] , то у нас есть гарантии, что [math]0 \lt \rho(x, a) \lt \delta[/math] выполнимо для бесконечного числа точек [math] x \in A[/math] . Отметим: если [math]a \in A[/math] , то [math]f(a)[/math] нас не интересует.
Пример(ы) [ править ][math]X = Y = \mathbb R, f: (a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a[/math] — предельная точка. Тогда [math] \lim\limits_ f(x) = b\ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0 : 0 \lt |x - a| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - b| \lt \varepsilon [/math] .
Определение: Если при [math]a \in A выполняется \lim\limits_f(x) = f(a)[/math] , тогда говорят, что отображение [math]f[/math] непрерывно в точке [math]a[/math] .
Предел сложного отображения [ править ]
Если [math]f[/math] имеет предел, то в ситуации общих МП:
Пусть также заданы отображения
[math]f: A \rightarrow B, \qquad g: B \rightarrow Z [/math]
[math] (f(x) \ne b \forall x \in A) [/math]
[math]a[/math] — предельная точка [math]A[/math] , [math]b[/math] — предельная точка B, при этом:
[math] b = \lim\limits_ f(x) \qquad d = \lim\limits_ g(y) [/math]
Пусть [math]z(x) = g(f(x)) [/math]
Тогда утверждается, что [math] \lim\limits_ z(x) = d [/math] . Если вы дочитали условие до этого места, возьмите с полки пирожок. _о_
Итак, сложная фукнция от двух непрерывных — непрерывна.
Некоторые непрерывные отображения [ править ]
Воспользуемся свойством метрического пространства - неравенством треугольника:
[math] \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_2, a) - \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, x_1)[/math]
[math] \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, x_2)[/math]
Отсюда, [math] |\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| \le \rho(x_2, x_1) [/math] .
[math] f(x_2) = \rho(x_2, a), f(x_1) = \rho(x_1, a)[/math] , значит, [math] |f(x_2) - f(x_1)| \le \rho(x_2, x_1) [/math]
Полагаем в этом неравенстве [math] x_1 = x, x_2 = x_0 [/math] и обращаемся к определению непрерывного отображения:
[math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta: 0 \lt \rho(x, x_0) \lt \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]
Определение: [math]\rho(x, A) = \inf\limits_ \rho(x, a) [/math] - расстояние от x до A.
[math] f(x_1) \le \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, a) + \rho(x_2, x_1) [/math]
По определению нижней грани, [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists a^* \in A: \rho(x, a^*) \lt \rho(x, A) + \varepsilon[/math] , значит, [math]f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \varepsilon + \rho(x_2, x_1) [/math] .
Делая предельный переход при [math] \varepsilon \rightarrow 0[/math] , получаем неравенство [math] f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1) [/math] .
Аналогично, [math] f(x_2) \le \rho(x_1, A) + \rho(x_1, x_2) [/math] .
[math] \Rightarrow [/math] :
[math] \rho(x, F) = \inf\limits_ \rho(x, a) [/math] . Но [math] x \in F[/math] , а [math] \rho(x, x) = 0 [/math] , по определению [math] \rho \gt = 0 [/math] , значит, [math] \rho(x, F) = 0, [/math]
[math] \Leftarrow [/math] :
[math] f(x) = \frac [/math] . Т.к. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing [/math] и [math] F_1, F_2 [/math] - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, [math] f(x) [/math] корректна и непрерывна в силу непрерывности [math] \rho [/math] . При этом: [math] x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 [/math] . Рассмотрим на R пару интервалов: [math] (- \infty; \frac 1 3) [/math] и [math] (\frac 1 2, + \infty) [/math] . Т.к. [math] f(x) [/math] неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество(это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).
1.Докажем в одну сторону Рассмотрим открытое множество G в У. Рассмотрим произвольную точку f(p) из G. Так как G открытое то [math] \exists \varepsilon \gt 0 : V_\varepsilon(f(p)) \in G [/math] По непрерывности [math] \exists \delta : x \in V_\delta(p) \Rightarrow f(x) \in V_\varepsilon(f(p)) [/math] Подберем такое [math] \delta [/math] Из выше сказанного следует что [math] V_\delta(p) \in f^-1(p) [/math] .
Замечание: так как замкнутые множества являются дополнениями открытых, то отсюда напрямую следует, что прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут.
Свойства непрерывных отображений. Определение компакта [ править ]
Определение: Множество ограниченное, если его можно поместить в шар.Определение: Пусть [math] (X, \rho) [/math] — МП. [math] K \in X [/math] является компактом в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] x_n: \lim x_n \in K [/math] .
[math] [a, b] [/math] на [math] \mathbb [/math] - классический пример.
Докажем от противного.
Предположим, что K неограниченное. То есть [math] \forall x \in K, \forall\varepsilon \gt 0 \exists x_1 \in K : \rho (x, x_1) \gt \varepsilon[/math] .
Тогда мы можем построить последовательность из таких точек [math]x_i: \rho (x_i, x_) \gt \varepsilon[/math] .
Эта последовательность неограниченна и из нее нельзя выделить сходящуюся. Но К — компакт, получили противоречие с определением компакта.
Определение: [math] A \in X [/math] является связным, если нельзя подобрать пару имеющих хотя бы одну общую точку с [math]A[/math] множеств [math] G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) [/math]
Например, любой промежуток на R - связное множество.
Эти классы определены, т.к:
Рассмотрим [math] y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K [/math] .
Равномерно непрерывные отображения [ править ]
Определение: Пусть заданы МП: [math] (X, \rho), (Y, \rho'), E \subset X[/math] . Тогда [math] f: E -\gt Y[/math] — равномерно непрерывное отображение, если [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0: \forall x, x) \lt \delta \Rightarrow \rho'(f(x_n = \frac1, x_n = \frac1 [/math] . Тогда [math] |x_n) - f(x_n)| \rightarrow 1 [/math] , значит, [math] f(x) [/math] - не равномерно непрерывное отображение.Допустим, что это не так. Тогда, по логическому отрицанию: [math]\exists \varepsilon_0 \gt 0
\, \forall \delta \gt 0
\exists _\delta, _\delta) \lt \delta ; \rho(f(