конспекты уроков по геометрии. Ход уроков I. Повторение ранее изученного материала

2. Четырехугольник KMNP – параллелограмм. Выразите через векторы и векторы и , где А – точка на стороне PN, такая, что PA : AN = 2 : 1, B – середина отрезка MN.

1. Начертите два неколлинеарных вектора и так, что = 2 см, = 3 см. Постройте вектор

2. В параллелограмме ABCD точка M – середина стороны CD; N – точка на стороне AD, такая, что AN : ND = 1 : 2. Выразите векторы и через векторы и .

Вариант III(для более подготовленных учащихся)

1. В треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 3 см, BC = 4 см. Постройте вектор

2. В трапеции ABCD AB || CD, AB = 3CD. Выразите через векторы и векторы и , где M – середина стороны BC, а N – точка на стороне AB, такая, что AN : NВ = 2 : 3.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–83; ответить на вопросы 1–17, с. 213–214 учебника; решить задачи №№ 783 и 804.Урок 7 Применение векторов к решению задач

Цели: на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи.

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

1. Указать ошибки учащихся при выполнении работ.

2. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Повторение изученного материала.

1. Ответить на вопросы на с. 213–214.

2. Вспомнить основные правила действий с векторами.

3. Решить задачи на доске и в тетрадях:

1) Упростите выражение

2) Найдите вектор из условия

1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.

2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.

IV. Решение задач.

1. Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что

Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем поэтому .

Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.

2. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ == 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

По условию AC : CB = 2 : 3, поэтому

Следовательно, откуда получается

Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.

3. Решить задачу № 784 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях.

Так как точка А1 – середина стороны ВС, то .

Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84

Из этих равенств следует, что

Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–84; разобрать решения задачи 2 из п. 84 и задачи № 788 и записать в тетрадь; решить задачу № 785.

Урок 8 Средняя линия трапеции

Цели: ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов; упражнять учащихся в решении задач.

I. Проверка усвоения учащимися материала.

1. Устно ответить на вопросы:

1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и и противоположно направленные векторы и .

2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

3) Могут ли векторы и быть неколлинеарными?

4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.

II. Объяснение нового материала.

1. Определение трапеции. Виды трапеций.

2. Определение средней линии трапеции.

3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции (проводит сам учитель).

При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке.

Доказательство можно оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:

Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).

Доказать: MN || AD, MN = .

1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 .

2) Так как , то и, значит, MN || AD.

3) Так как , то = AD + BC, поэтому

MN = (AD + BC).

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.

Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) = = 20 (см); средняя линия MN = = 10 (см).

2. Решить задачу № 795.

Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.

Тогда KD = AD – AK.

IV. Проверочная самостоятельная работа.

Точка K делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор через векторы и , где A – произвольная точка.

Точка A делит отрезок EF в отношении EA : AF = 2 : 5. Выразите вектор через векторы и , где K – произвольная точка.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 85; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796.

Основные требования к учащимся:

В результате изучения параграфа учащиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 782–787; 793–799.

МЕТОД КООРДИНАТ (10 часов)Урок 1 Разложение вектора по двум даннымнеколлинеарным векторам

Цели: доказать лемму о коллинеарных векторах и теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и закрепить их знание в ходе решения задач.

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Устная работа.

1. Устно решить задачи по заранее заготовленному чертежу на доске:

Дан параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке О, а также отрезки MP и NQ, соединяющие соответственно середины сторон AB и CD, BC и AD. Требуется выразить:

1) вектор через вектор ;

2) вектор через вектор ;

3) вектор через вектор ;

4) вектор через вектор .

2. Вопрос учащимся:

м ожно ли для любой пары коллинеарных векторов подобрать такое число, что один из векторов будет равен произведению второго вектора на это число?

III. Изучение нового материала.

1. Формулировка леммы о коллинеарных векторах. Для понимания учащимися формулировки леммы полезно обсудить, во-первых, почему важно условие и, во-вторых, будет ли верно утверждение, если рассматривать произвольные (в том числе и неколлинеарные) ненулевые векторы.

2. Доказательство леммы.

3. Решить задачу по рисунку параллелограмма ABCD на доске (тем самым подвести учащихся к мысли о возможности выражения вектора через два данных неколлинеарных вектора):

Точки M и Q – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD. Выразите:

1) вектор через векторы и ;

2) вектор через векторы и ;

3) вектор через векторы и ;

4) вектор через векторы и .

4. Рассмотреть теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам, в ходе ее доказательства полезно обратить внимание на роль леммы в доказательстве.

IV. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачи № 911 (а, б); № 912 (б, в).

2. Решить задачи № 915 (по готовому чертежу) и № 916 (а, б).

V. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пункта 86; решить задачи №№ 911 (в, г), 912 (ж, е, з), 916 (в, г).

Урок 2 Координаты вектора

Цели: ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами.

I. Проверка домашнего задания.

1. Устно решить задачи:

1) назвать числа х и у, удовлетворяющие равенству: ; ;

2. На доске двое учащихся решают задачи №№ 911 (в) и 912 (и, к).

II. Изучение нового материала.

1. Напомнить задание прямоугольной системы координат и начертить ее.

2. Ввести координатные векторы и (рис. 275).

3. Нулевой вектор можно представить в виде ; его координаты равны нулю: (0; 0).

4. Координаты равных векторов соответственно равны.

5. Рассмотреть правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число (доказательства указанных правил учащиеся могут рассмотреть самостоятельно).

6. Записать в тетрадях правила:

и – данные векторы

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 917 на доске и в тетрадях.

2. Устно по рисунку 276 решить задачу № 918.

3. Решить задачу № 919 (самостоятельно).

4. Решить задачу № 920 (а, в) на доске и в тетрадях.

5. Устно решить задачи № 922–925, используя правила, записанные в тетрадях.

6. Записать утверждение задачи № 927 без доказательства:

1) Если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого: если коллинеарен вектору , то x1 : x2 = y1 : y2.

2) Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы коллинеарны.

7. Решить задачу № 928.

Используем условие коллинеарности векторов: .

1) (3; 7) и (6; 14), так как ;

2) (–2; 1) и (2; –1), так как .

IV. Самостоятельная работа контролирующего характера.

Решить задачи № 912 (а, г); № 920 (г); № 988 (а, б); № 921 (а, в);№ 914 (а).

Решить задачи №№ 912 (в, д); 920 (д); 988 (в, г); 921 (б, г); 914 (б).

V. Итоги урока.

Домашнее здание: подготовиться к устному опросу по карточкам, повторить материал пунктов 76–87; ответить на вопросы 1–20, с. 213–214 и на вопросы 1–8, с. 249 учебника; решить задачи №№ 798, 795; 990 (а) (для векторов и ).

Урок 3 Связь между координатами вектораи координатами его начала и конца.Простейшие задачи в координатах

Цели: рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины отрезка, о вычислении длины вектора по его координатам и нахождении расстояния между двумя точками.

I. Анализ результатов контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала (лекция).

1. Рассмотреть по учебнику рис. 277 и рис. 278 и ввести понятие радиус-вектора .

Без доказательства записать в тетрадях утверждения:

а) координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора;

б) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала:

џ Устно решить задачу № 934.

2. Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

3. Рассмотрим три вспомогательные задачи.

1) Координаты середины отрезка.

Используя формулу из п. 84 (1) и координаты векторов записать равенство в координатах: отсюда x = ; y = .

Вывод: каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

џ Устно решить задачу № 936.

2) Вычисление длины вектора по его координатам.

Используя рис. 280 учебника, вывести формулу , если

џ Устно решить задачу № 938.

3) Расстояние между двумя точками.

Пусть точка M1 (x1; y1) и точка M2 (x2; y2); тогда вектор (x2 – x1; y2 – y1); следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле но = d, таким образом, расстояние d между точками M1 (x1; y1) и M2 (x2; y2) выражается формулой

џ Решить задачу № 940 (а, б) на доске и в тетрадях.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 939.

Найти расстояние от точки М (3; –2): а) до оси абсцисс; точка В (x; y) лежит на оси абсцисс; тогда расстояние равно 2; б) расстояние до оси ординат равно 3; в) до начала координат равно d =