В.К. Пономаренко ЭЛЕКТРОТЕХНИКА ЧАСТЬ III УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ ВК Пономаренко 8-летию СПбГТУРП поящается ЭЛЕКТРОТЕХНИКА ЧАСТЬ III УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Санкт-Петербург

3 УДК 6 П 56 ББК Пономаренко ВК Электротехника: учебное пособие / СПбГТУРП- СПб, Часть III- 9с В учебном пособии рассмотрены переходные процессы в линейных электрических цепях, их анализ и расчет классическим и операторным методами Расчетные методы сопровождаются примерами, векторными диаграммами и графическими зависимостями с подробными пояснениями Пособие предназначено для студентов специальности 44 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов», изучающих дисциплину «Теоретические основы электротехники», а также для студентов других специальностей всех форм обучения, изучающих дисциплину «Электротехника» Рецензенты: канд техн наук, доцент кафедры радиолокационных станций Санкт- Петербургского высшего военного училища радиоэлектроники военного института ВН Степанов; канд техн наук, доцент кафедры автоматизированного электропривода и электротехники Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров НЯ Елизов Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия ВК Пономаренко, ФГБОУВПО Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров,

4 Введение Настоящее учебное пособие является продолжением пособий «Электротехника, часть I», «Электротехника, часть II» Первая глава поящена анализу и расчету переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом Рассматриваются причины возникновения переходных процессов, законы коммутации, независимые и зависимые начальные условия Рассчитываются и анализируются переходные процессы в неразветвленных цепях,;,;,, при различных коммутациях при постоянном и синусоидальном источниках напряжения, а также переходные процессы в разветвленных цепях с несколькими реактивными элементами Расчеты и анализ сопровождаются построением соответствующих временных характеристик с объяснением физики процесса Приводятся рекомендации по последовательности расчета переходных процессов классическим методом в разветвленных электрических цепях Во второй главе рассматривается применение преобразования Лапласа к расчету переходных процессов и его основные ойства, приводятся табличные изображения некоторых наиболее часто встречающихся в электротехнике функций Подробно рассмотрены законы Ома и Кирхгофа в операторной форме при ненулевых и нулевых начальных условиях, а также операторные схемы замещения Приводится рекомендуемая последовательность расчета переходных процессов операторным методом с необходимыми примерами Большое внимание уделяется формуле теоремы разложения и особенностям ее применения при различных формах воздействующего на схему напряжения В конце каждой главы приводятся примеры расчета и анализа задач, язанных с различными переходными процессами

5 Глава ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД Причины возникновения переходных процессов В предыдущих разделах рассматривались установившиеся режимы электрических цепей, при которых токи и напряжения либо неизменны во времени цепи постоянного тока, либо являются периодическими функциями времени цепи переменного тока В ряде случаев необходимо исследовать неустановившиеся переходные процессы, возникающие в электрических цепях после коммутации Под коммутацией понимают включение или отключение источников энергии, отдельных ветвей или элементов цепи, а также внезапные изменения параметров,, элементов цепи, скачкообразные изменения ЭДС и токов источников Считается, что коммутация происходит мгновенно За начало отсчета времени переходного процесса принимается момент коммутации ; момент времени, непосредственно предшествующей коммутации, обозначают _ ; момент времени, наступающий непосредственно после коммутации Таким образом, начальный момент после коммутации равен моменту времени Теоретически переходный процесс заканчивается через бесконечно большое время, а практически при наличии в цепи реактивных элементов переходный процесс заканчивается через некоторое конечное время после коммутации, которое зависит от параметров цепи После окончания переходного процесса в цепи возникает новый установившийся режим Переходным называют процесс перехода электрической цепи от одного установившегося режима к другому Во время переходного процесса напряжения и токи изменяются непериодически Изучение переходных процессов имеет важное значение, так как напряжения и токи во время переходного процесса могут значительно превышать их установившиеся величины Перенапряжения на отдельных участках цепи могут оказаться опасными для изоляции установки, а ерхтоки могут вызвать недопустимый нагрев участков цепи или чрезмерные механические усилия В то же время в устройствах автоматики переходные процессы являются рабочими режимами Следовательно, переходные процессы нужно анализировать и рассчитывать Каждому установившемуся режиму электрической цепи соответствует строго определенное энергетическое состояние, те определенные значения энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля индуктивной катушки: W c Э, W М 4

6 Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния электрической цепи докоммутационного режима к новому энергетическому состоянию Этот переход язан с нарастанием или убыванием энергии магнитного и электрического полей и требует определенного времени, он не может произойти мгновенно скачком Действительно, скачкообразное изменение энергии в момент коммутации на некоторую конечную величину потребовало бы от источников энергии бесконечно больших мощностей dw, что лишено физического смысла, так как реальные источники имеют конечную величину мощности Таким образом, причиной возникновения переходных процессов в электрических цепях с индуктивностью и емкостью является невозможность мгновенного изменения энергии соответственно магнитного и электрических полей после коммутации Энергия может изменяться непрерывно, без скачков Законы коммутации и начальные условия Как уже отмечалось, энергия электрического и магнитного полей в цепи не может изменяться скачком, она может изменяться только плавно Запасенная в цепи энергия определяется суммарными потокосцеплениями всех индуктивных катушек и зарядами всех конденсаторов Так как энергия магнитного поля определяется током, а энергия электрического поля напряжением, то последние не могут при коммутациях изменяться скачком Указанные условия для токов в индуктивностях и напряжений на емкостях позволяют сформулировать два закона коммутации Первый закон коммутации применяется для ветви с индуктивностью, он формулируется следующим образом: ток и потокосцепление магнитный поток в индуктивности не могут изменяться скачком; в начальный момент после коммутации они сохраняют те же значения, которые имели до коммутации, и дальше начинают плавно изменяться На основании первого закона коммутации для тока в индуктивности можно записать: _ Если для ветви с индуктивностью допустить, что в момент коммутации ток может изменяться скачком, то напряжение на индуктивном элементе d станет бесконечно большим, и для контура с индуктивностью не будет выполняться второй закон Кирхгофа Таким образом, указанное предположение лишено физического смысла Второй закон коммутации применяется для ветви с емкостью: напряжение и заряд на емкости не могут изменяться скачком; в начальный 5

7 момент после коммутации они сохраняют те же значения, которые имели до коммутации, и дальше начинают плавно изменяться На основании этого закона: c c Невозможность скачкообразного изменения напряжения c в момент коммутации следует из того, что в противном случае ток через емкость dc c был бы бесконечно большим, что лишено физического смысла Законы коммутации позволяют найти напряжение c и ток, рассчитывая их значения в схеме до коммутации Отметим, что напряжение на индуктивности и ток в емкости могут изменяться скачком, так как эти величины не язаны с энергией магнитного и электрического полей В цепях с резистивными элементами ток и напряжение могут при коммутации изменяться скачком мгновенно, те в цепи из активных сопротивлений после коммутации переходного процесса не будет Но это идеальный случай, так как в реальной цепи соединительные провода и элементы цепи обладают определенными паразитными индуктивностями и емкостями Если ими можно пренебречь, тогда напряжение и ток в активном сопротивлении могут изменяться скачком Для расчета переходных процессов используются начальные условия, которые делятся на независимые и зависимые Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации называются независимыми начальными условиями, они определяются законами коммутации Независимые начальные условия могут быть нулевые и ненулевые При нулевых начальных условиях, когда _ и c _, индуктивность в начальный момент после подключения к источнику энергии равносильна разрыву цепи, а емкость короткому замыканию c В этом случае во время переходного процесса ток в индуктивности и напряжение на емкости начнут изменяться с нулевых значений В случае ненулевых начальных условий, когда _, c _, индуктивность в начальный момент после коммутации равносильна источнику тока, а емкость источнику ЭДС Независимые начальные условия характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную в цепи к моменту коммутации При расчете переходных процессов в разветвленных цепях наряду с независимыми начальными условиями используются зависимые начальные условия Они представляют собой значения остальных токов, напряжений и их производных в начальный момент времени Эти значения определяются из уравнений законов Кирхгофа, записанных для схемы после 6

8 коммутации для начального момента времени с учетом независимых начальных условий Общие принципы анализа переходных процессов классическим методом После коммутации в цепи возникает переходный процесс, длительность которого зависит от параметров цепи Токи и напряжения, соответствующие этому режиму, называются переходными и обозначаются строчными буквами. Анализ переходных процессов классическим методом в линейной цепи с сосредоточенными параметрами,, одится в общем случае к решению обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа для схемы после коммутации Эта система может быть разрешена относительно одного из токов или напряжений В результате получится неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами для переходного режима Порядок дифференциального уравнения определяется числом реактивных элементов в послекоммутационной схеме после ее возможного упрощения последовательно или параллельно включенные индуктивности и емкости заменяются эквивалентными Например, если синусоидальное напряжение U m sn подключается к цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов,, рис, то уравнение второго закона Кирхгофа для схемы после коммутации имеет вид: d c Рис Подключение цепи,, к источнику синусоидального напряжения Это уравнение после дифференцирования для избавления от интеграла приводится к неоднородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка: 7

9 d d 8 c d, где переходный ток, определяющий общее решение уравнения Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения Общее решение однородного дифференциального уравнения физически определяет поведение послекоммутационной цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и заданных значениях тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации Такой режим электрической цепи называется ободным; токи и напряжения, соответствующие этому режиму, называются ободными:, Для определения ободных составляющих в послекоммутационной схеме исключают внешние источники энергии источники ЭДС закорачивают, а ветви с источником тока разрывают Поскольку вся энергия в цепи без источников со временем рассеивается, то ободная составляющая например, тока затухает с течением времени теоретически при Для рассматриваемого примера схема в ободном режиме изображена на рис Однородное дифференциальное уравнение для ободного режима получается из уравнения, если исключить источник напряжения: d cв d 4 Рис Схема для ободного режима Для составления характеристического уравнения символы дифференцирования в уравнении 4 заменяют сомножителем в соответствующей степени: 5

10 Если корни характеристического уравнения обозначить через р и р, то общее решение однородного дифференциального уравнения 4 запишется в виде: 9 A A, 6 где А, А постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий Рис Исходная схема в принужденном режиме Частное решение неоднородного дифференциального уравнения определяет принужденный или установившийся режим цепи, задаваемый источником энергии Принужденный режим наступает после окончания переходного процесса Токи и напряжения, соответствующие этому режиму, называются принужденными и обозначаются пр, пр Принужденная составляющая рассчитывается из схемы после коммутации с учетом источника энергии Характер расчета определяется типом источника энергии постоянное или синусоидальное напряжение Для рассматриваемого примера схема в принужденном режиме представлена на рис Для определения синусоидального принужденного тока рассчитаем сначала комплексную амплитуду принужденного тока: где I m пр U m Z U m Z I Z комплексное сопротивление цепи; mпр I mпр, 7 Z X полное сопротивление цепи; X реактивное сопротивление цепи; arcg X угол сдвига фаз между напряжением источника и током; начальная фаза принужденного тока;

11 I m пр U m амплитуда принужденного тока Z Принужденный ток пр I m пр sn 8 Таким образом, общее решение уравнения является переходным током: пр A A I m пр sn 9 Уравнение 9 показывает, что переходный процесс в цепи можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга режимов: принужденного, который наступил как бы сразу после коммутации, и ободного, имеющего место только во время переходного процесса С течением времени ободная составляющая тока уменьшается и переходный ток все ближе приближается к току пр Когда ободной составляющей можно пренебречь, переходный процесс практически заканчивается пр Рассмотренный принцип наложения применим только к линейным электрическим цепям Разложение переходных токов на ободные и принужденные является удобным приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях Вернемся к уравнению 9, в котором требуется определить постоянные интегрирования A,A Для этого нужно рассчитать два начальных условия: одно независимое, второе зависимое В соответствии с первым законом коммутации для схемы, представленной на рис, переходный ток в начальный момент после коммутации равен нулю: _ Следовательно, уравнение 9 при = имеет вид: пр A A I m пр sn ; A A I m пр sn Второе зависимое начальное условие производная от переходного тока получим из уравнения второго закона Кирхгофа для схемы, изображенной на рис, после коммутации для момента времени =: U m sn d,

12 где _ в соответствии со вторым законом коммутации Таким образом, второе начальное условие: d U sn m Определим производную от переходного тока в уравнении 9: d A откуда для = получим: d A I m пр cos, m A A I cos m пр U sn Из уравнений, определяют постоянные интегрирования А, А, а затем искомый переходный ток 4 Переходный процесс в цепи, Положим, что в момент = цепь, состоящая из активного сопротивления и индуктивности, включенных последовательно, присоединяется к источнику напряжения и рис 4 После включения выключателя в цепи начинается переходный процесс Рис4 Подключение цепи, к источнику напряжения Запишем второй закон Кирхгофа для схемы после коммутации: d, где переходный ток ток переходного режима,, переходные напряжения на и соответственно

13 Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: пр Свободный ток является общим решением однородного дифференциального уравнения, которое получается из уравнения, если его левую часть считать равной нулю, те в схеме после коммутации должен быть исключен источник напряжения: d 4 Характеристическое уравнение имеет вид: откуда корень уравнения, 5, 6 где постоянная времени цепи, измеряется в секундах Таким образом, ободный ток A A 7 Принужденный ток пр является частным решением неоднородного дифференциального уравнения, он зависит от характера напряжения источника Рассмотрим три случая: включение цепи, к источнику постоянного напряжения U ; короткое замыкание цепи ; включение в цепь, синусоидального напряжения U m sn Свободный ток не зависит от источника внешнего напряжения, поэтому во всех случаях он выражается уравнением 7, но для каждого случая постоянная интегрирования А будет оя 4 Включение в цепь, постоянного напряжения Схема для принужденного установившегося режима после окончания переходного процесса представлена на рис5 В этом случае в цепи устанавливается постоянный ток, падение напряжения на индуктивности становится равным нулю, и все напряжение источника будет приложено к сопротивлению

14 Рис5 Принужденный режим при подключении цепи, к источнику постоянного напряжения Уравнение для принужденного режима при U пр и пр и пр пр Так как и пр, принужденный ток в цепи d U cons имеет вид: U пр I уст cons 8 Таким образом, переходный ток в цепи определяется выражением: A U пр 9 Постоянную интегрирования А определим из независимого начального условия, используя первый закон коммутации: откуда _ Согласно уравнению 9 при = получим: Следовательно, переходный ток A U, A U U Переходные напряжения на элементах цепи:

15 d U U, U Графические зависимости переходного, принужденного, ободного токов и переходных напряжений на элементах цепи изображены на рис6, 7 В начальный момент = напряжение и скачком возрастает от нуля до U и компенсирует напряжение источника питания, в результате ток оказывается равным нулю С течением времени напряжение и убывает, а ток в цепи возрастает, приближаясь к установившемуся значению Напряжение повторяет график тока, по окончании переходного процесса U Рис6 Принужденный установившийся, ободный и переходный токи при подключении цепи, к источнику постоянного напряжения Энергия от источника идет частично на увеличение энергии магнитного поля индуктивности, а частично переходит в тепло на сопротивлении Постоянная времени графически определяется длиной подкасательной к кривой или при любом значении рис6, 7 Нарастание тока происходит тем быстрее, чем меньше постоянная времени При отношение % 6,% I ; при 4 % 98,% уст I при 5 % 99,% Следовательно, постоянная времени равна I уст промежутку времени, в течение которого ободная составляющая тока убывает в,7 раза, и соответственно ток в цепи, включенной на постоянное напряжение, достигает 6, % оего установившегося значения Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, практически можно считать, что он заканчивается спустя уст ;

16 Рис7 Переходные напряжения, при подключении цепи, к источнику постоянного напряжения 4 Короткое замыкание цепи, В предыдущем разделе рассмотрен переходный процесс при нулевых начальных условиях Коммутация при коротком замыкании язана с ненулевыми начальными условиями До коммутации в цепи протекал постоянный ток Предположим, что цепь,, подключенная к источнику постоянного напряжения U, с помощью переключателя замыкается накоротко при = рис8 Будем считать, что при отключении цепи от источника напряжения между контактами, разрывающими цепь, электрическая дуга не возникает Ток в контуре, благодаря имеющемуся магнитному полю индуктивности исчезает не мгновенно ЭДС самоиндукции, обусловленная убыванием магнитного потока, стремится поддержать ток в контуре за счет энергии исчезающего магнитного поля По мере того как энергия магнитного поля постепенно рассеивается, превращаясь в сопротивлении в тепло, ток в контуре приближается к нулю Так как контур отключается от источника напряжения, то после окончания переходного процесса принужденный ток пр будет равен нулю; следовательно, переходный ток равен ободному току Процесс при коротком замыкании цепи,, в которой до коммутации протекал постоянный ток I, описывается однородным дифференциальным уравнением 4 Его общее решение выражается уравнением 7: A 5

17 Рис8 Короткое замыкание цепи, при отключении от источника постоянного напряжения Постоянная интегрирования определяется независимым начальным условием: _ U I Следовательно, при = уравнение для тока имеет вид: Переходный ток U A Переходные напряжения на и : d U U, U 6 U Рис9 Переходный ток при коротком замыкании цепи,

18 Соответствующие кривые тока и напряжений изображены на рис9, В первый момент после коммутации в цепи протекает ток I, он не изменяет ое направление и уменьшается по мере убывания ЭДС самоиндукции по экспоненте, стремясь к нулю При = напряжение U, а U ; во время переходного процесса оба напряжения уменьшаются до нуля, результирующее напряжение в контуре все время равно нулю Рис Переходные напряжения, при коротком замыкании цепи, Во время переходного процесса вся запасенная до коммутации энергия в магнитном поле индуктивности превращается в сопротивлении в тепло Длительность переходного процесса равна Включение в цепь, синусоидального напряжения Цепь,, изображенная на рис4, подключается к источнику синусоидального напряжения U m sn Свободная составляющая переходного тока получается как решение однородного дифференциального уравнения 4 и имеет вид уравнения 7 Общее решение неоднородного дифференциального уравнения A Для нахождения частного решения уравнения рассмотрим установившийся режим в цепи после окончания переходного процесса рис Мгновенное значение принужденного тока будет определяться выражением: пр I m sn, 4 7 пр

19 U m U m где I m амплитуда тока; arcg Z угол сдвига фаз между входным напряжением и током; начальная фаза тока Следовательно, переходный ток в цепи после коммутации A I m 8 sn 5 Рис Подключение цепи, к источнику синусоидального напряжения принужденный режим Постоянная интегрирования А определяется по начальному условию из первого закона коммутации: откуда _ Следовательно, при = уравнение 5 имеет вид: A I m sn, Таким образом, переходный ток I m A I m sn I sn sn 6 На рис изображены кривые принужденного, ободного и переходного токов Начальные ординаты пр, одинаковы и противоположны по знаку, так как Свободный ток убывает по экспоненте, причем через время он уменьшается в,7 раза Следует отметить, что начальное значение ободного тока зависит от момента m

20 включения, те от начальной фазы питающего напряжения и от угла сдвига фаз По мере уменьшения переходный ток все ближе приближается к принужденному току нового установившегося режима Время переходного процесса составляет 4 5 ; форма тока во время переходного процесса отличается от синусоидальной Рис Принужденный, ободный и переходный токи при включении в цепь, синусоидального напряжения Если в момент коммутации = начальная фаза принужденного тока или или, то пр и Следовательно, ободного тока не будет и в цепи сразу наступает принужденный режим без переходного процесса Рис Принужденный, ободный и переходный токи при 9

21 Если же коммутация происходит при, то I Переходный ток через половину периода T пр Im, а m достигает наибольшего значения, превышающего амплитуду принужденного тока рис Теоретически, если или, то постоянная времени и через половину периода переходный ток равен I m Переходные напряжения на и можно рассчитать по формулам:, d Изменение напряжения на во время переходного процесса по форме совпадает с кривой переходного тока Напряжение на индуктивности складывается из синусоидальной принужденной составляющей и экспоненты ободной составляющей В момент коммутации изменяется скачком до величины U m sn, так как При ободная составляющая затухает до нуля и переходное напряжение будет изменяться по закону косинуса напряжение на индуктивности опережает ток на 9º 5 Переходный процесс в цепи, Положим, что в момент времени = цепь, состоящая из активного сопротивления и емкости, включенных последовательно, подключается к источнику напряжения и рис4 Требуется определить ток и напряжение на элементах цепи во время переходного процесса Запишем второй закон Кирхгофа для схемы после коммутации : где, c c c переходное напряжение на емкости Рис4 Подключение цепи, к источнику напряжения

22 d С учетом того, что ток, получим: dc c 7 Таким образом, для схемы, представленной на рис4, после коммутации получено неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно напряжения Общее решение уравнения 7 равно сумме частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного уравнения : пр пр Если в схеме рис4 исключить источник напряжения, то получим однородное дифференциальное уравнение для ободного режима: d 8 Составим характеристическое уравнение: откуда корень уравнения где, 9, С постоянная времени цепи, измеряется в секундах Следовательно, ободная составляющая напряжения на емкости A A, где А пока неизвестная постоянная интегрирования Характер частного решения пр определяется видом воздействующего на цепь напряжения источника Вид общего решения уравнения 7 A пр показывает, что пр представляет собой то значение напряжения на емкости, которое будет достигнуто после окончания переходного процесса Действительно, при пр, так как с течением времени затухает Рассмотрим три случая: подключение цепи, к источнику постоянного напряжения U; короткое замыкание цепи,; подключение U m sn цепи, к источнику синусоидального напряжения

23 5 Подключение цепи, к источнику постоянного напряжения Схема для принужденного установившегося режима представлена на рис5 К концу переходного процесса, когда конденсатор полностью зарядится, на нем устанавливается постоянное напряжение источника U Действительно, для принужденного режима уравнение 7 имеет вид: U d пр пр Так как пр cons, то из уравнения следует, что пр U Ток в принужденном режиме после заряда конденсатора до напряжения d пр источника будет равен нулю пр С Рис5 Принужденный режим при подключении цепи, к источнику постоянного напряжения Таким образом, переходное напряжение на емкости U A ф пр Для определения постоянной А используем независимое начальное условие Согласно второму закону коммутации напряжение на емкости в момент включения выключателя остается таким же, как до коммутации Если в исходном состоянии до включения выключателя конденсатор не был заряжен, то _ Для момента времени = уравнение имеет вид: U A, откуда A U Запишем окончательное выражение для переходного напряжения на емкости:

24 U Ток и напряжение на во время переходного процесса соответственно: d c U U, U 4 Графики переходного тока и переходных напряжений, представлены на рис6 а б Рис6 Переходный ток а и переходные напряжения, б при подключении цепи, к источнику постоянного напряжения Так как, то при = все напряжение источника приложено к активному сопротивлению U, зарядный ток в цепи максимален U С течением времени в процессе заряда конденсатора возрастает, стремясь к напряжению источника U, а зарядный ток уменьшается, стремясь к нулю Чем больше постоянная времени, тем больше длительность переходного процесса Через время 4 5 переходный процесс практически заканчивается, те cв затухает до значения, близкого к нулю Постоянная времени С может быть определена так же, как для цепи,, графически как подкасательная к кривой тока или напряжения в любой точке например, при = Характер изменения напряжения на емкости и тока в данной цепи аналогичен соответственно закону изменения тока и напряжения на индуктивности при подключении цепи, к источнику постоянного напряжения Любая реальная электрическая цепь обладает некоторой паразитной индуктивностью, и ток в такой цепи не может возрастать скачком Поэтому зарядный ток при подключении цепи, к источнику постоянного

25 напряжения будет нарастать от нуля до максимального значения при малых индуктивностях очень быстро, но не мгновенно, а затем начнет уменьшаться до нуля по экспоненте Следует отметить, что во время заряда конденсатора, при любом сочетании параметров и, всегда половина энергии, расходуемой источником за время переходного процесса, идет на накопление энергии в электрическом поле конденсатора, а другая расходуется на тепло, выделяемое в активном сопротивлении 5 Короткое замыкание цепи, Предположим, что до коммутации емкость С заряжена до напряжения источника U рис7 В момент времени = переключатель отключает цепь от источника, и емкость С начинает разряжаться через активное сопротивление короткое замыкание цепи После окончания переходного процесса принужденные установившиеся напряжения на и, а также принужденный ток будут равны нулю Следовательно, переходный ток и переходные напряжения в этом случае равны ободным составляющим Процесс разряда конденсатора при отсутствии внешнего источника напряжения описывается однородным дифференциальным уравнением: d, 5 где Характеристическое уравнение и его корень определяются уравнениями 9, Общее решение уравнения 5: c A 6 Рис7 Короткое замыкание цепи, при отключении от источника постоянного напряжения 4

26 Для определения постоянной интегрирования А используем ненулевое начальное условие на основе второго закона коммутации: _ U Запишем уравнение 6 при =: U A, следовательно, переходное напряжение на емкости во время разряда конденсатора определяется следующим выражением: c U 7 Значения разрядного тока и напряжения на во время переходного процесса: d U U, 5 U 8 Соответствующие кривые тока и напряжений во время переходного процесса изображены на рис8,9 Знак «минус» в уравнениях 8 говорит о том, что ток при разряде конденсатора направлен противоположно току при заряде В начальный момент разрядный ток максимален и равен U, а затем будет уменьшаться экспоненциально до нуля Переходный процесс может считаться законченным спустя 4 5 Рис8 Переходный ток при коротком замыкании цепи, С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи, характеризуется переходом энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле конденсатора, в тепло в сопротивлении

27 Рис9 Переходные напряжения, при коротком замыкании цепи, 5 Подключение цепи, к источнику синусоидального напряжения Рассмотрим переходный процесс при подключении цепи, к источнику синусоидального напряжения U m sn рис4 Неоднородное дифференциальное уравнение 7 для схемы после коммутации имеет вид: d U m sn 9 Его общее решение: A ф пр пр Рис Принужденный режим цепи, при подключении к ней синусоидального напряжения и Для определения частного решения и пр рассмотрим установившийся синусоидальный режим при, когда и исчезает рис 6

28 Сначала определим принужденный синусоидальный ток: I m пр sn пр, U - где I m mпр ; ; arcg Следовательно, принужденное установившиеся напряжение на емкости где I m пр U т пр 7 U пр sn т I mпр пр sn, 4 Таким образом, переходное напряжение на емкости где c U т A ф пр sn, 4 c Если конденсатор до коммутации не был заряжен, то _ Следовательно, уравнение 4 для = имеет вид: откуда постоянная интегрирования U т пр sn c A, A U т пр sn c Тогда переходное напряжение на емкости U т U пр sn т пр sn 4 Переходный ток в цепи определяется следующим образом: d I m пр sn c c I 4 m пр щ sn ш р ф Из уравнений 4, 4 видно, что переходный процесс зависит соответственно от начальной фазы,, те от величины начальной фазы c приложенного к цепи напряжения, которая в ою очередь зависит от момента включения

29 На рис представлены кривые напряжений начальная фаза равна нулю или c 8 пр,, Если, то Так как пр переходное напряжение на емкости, то Поэтому, если и С пр c в момент включения проходит через нуль, переходный процесс в цепи не возникает, сразу же наступает принужденный режим Рис Принужденное, ободное и переходное напряжения на емкости при включении в цепь, синусоидального напряжения Если в момент включения = начальная фаза, то c пр U т пр Следовательно, ободная составляющая U т пр Если постоянная времени велика, то через половину периода переходное напряжение на емкости T U m пр Таким образом, максимальное напряжение на конденсаторе во время переходного процесса не превышает удвоенной амплитуды напряжения В момент включения цепи, емкость как бы закорочена и напряжение питания равно напряжению Поэтому при включении происходит большой скачок тока, который длится относительно недолго 6 Включение цепи,, на постоянное напряжение При подключении цепи,, к источнику постоянного напряжения U рис переходный процесс исследуется с помощью дифференциального уравнения : d d d пр c

30 Так как однородным: U cons, то дифференциальное уравнение получается d d 44 Рис Подключение цепи,, к источнику постоянного напряжения Это означает, что уравнение 44 соответствует ободному режиму, и переходный ток равен ободному Действительно, после заряда конденсатора от источника постоянного напряжения в установившемся режиме ток будет равен нулю пр Уравнению 44 соответствует характеристическое уравнение 5: корни которого равны: где или. 45 коэффициент затухания, 9 контура Переходный ток согласно уравнению 6 A A угловая резонансная частота 46 Характер ободного процесса зависит от параметров цепи. те от вида корней характеристического уравнения от знака подкоренного выражения уравнения 45 Корни могут быть действительными при д или или комплексными и сопряженными при или При действительных вещественных корнях

31 решение однородного дифференциального уравнения для ободного режима имеет апериодический характер, а для комплексных колебательный Сопротивление кр 47 называется критическим, оно соответствует предельному случаю апериодического процесса Рассмотрим три возможных случая при включении цепи,, на постоянное напряжение 6 Апериодический процесс Предположим, что, те кр Корни характеристического уравнения будут действительные и отрицательные числа. 48 причем Общее решение уравнения 44 определяется выражением 46 Постоянные интегрирования А и А находятся из двух начальных условий Независимое начальное условие записывается на основе первого закона коммутации: _ 49 Уравнение второго закона Кирхгофа для схемы, представленной на рис, имеет вид: d U Для начального момента времени это уравнение определяется выражением: d С U, d откуда находится начальное значение производной, которое является зависимым начальным условием На основе второго закона коммутации _, следовательно, второе начальное условие: С d U 5 Продифференцируем уравнение 46 с учетом того, что пр :

32 d A A 5 Подставляя в уравнения 46 и 5 = и используя начальные условия 49, 5, получим уравнения для определения постоянных интегрирования: где A A, U A A Из этих уравнений следует: U А А, Таким образом, переходный ток в соответствии с уравнением 46 определяется выражением: U U U 5 Переходное напряжение : U 5 После окончания переходного процесса ток и напряжение будут равны нулю; напряжение на индуктивности пр, а напряжение на емкости С пр U Переходные напряжения на индуктивности и емкости: С С d U, 54 С пр U U U 55 На рис показана кривая переходного тока для апериодического процесса Так как, кривая A затухает медленнее с постоянной времени, чем экспонента A, имеющая постоянную времени

33 Ток не переходит через нуль и является алгебраической суммой двух экспонент Рис Переходный ток в апериодическом процессе Следует отметить, что при больших значениях С влияние емкости мало и кривая тока приближается к кривой тока в цепи, рис6; при малых значениях влияние индуктивности незначительно и кривая тока близка к кривой тока в цепи, рис6а На рис4 приведены кривые переходных напряжений С, и кривая тока с указанием характерных точек для моментов времени и Ток возрастает от нуля до некоторого максимума при, а затем убывает, стремясь к нулю Напряжение монотонно возрастает от нуля до С dс напряжения источника U Поскольку, максимум кривой тока и точка перегиба кривой напряжения наступают в один и тот же момент времени Это время можно найти, приравняв нулю производную С ln d : 56 С увеличением сопротивления время увеличивается и кривая тока растягивается по оси времени В первый момент после коммутации напряжение на индуктивности равно напряжению источника, затем оно уменьшается и в момент времени становится равным нулю d Затем напряжение возрастает до некоторого отрицательного максимума, после чего уменьшается и стремится к нулю Максимум кривой и точка перегиба кривой происходят в один и

34 тот же момент времени, что следует из равенства времени можно найти, приравняв нулю производную d d Момент Рис4 Апериодический процесс при включении в цепь,, постоянного напряжения 6 Критический процесс предельный случай апериодического процесса Этот случай имеет место, если активное сопротивление контура,, равно критическому кр, те Тогда в соответствии с уравнением 45 корни характеристического уравнения будут действительные и равные: 57 Уравнение 5 для переходного тока в этом случае приводит к неопределенности вида Ее можно раскрыть по правилу Лопиталя Этот же результат можно получить, если воспользоваться общим решением однородного дифференциального уравнения 44 с кратными корнями: A A A A 58 Используем начальное условие 49, в соответствии с которым, тогда уравнение 58 при имеет вид: A A, следовательно, постоянная интегрирования А и уравнение для тока имеет вид:

35 A 59 Второе начальное условие определяется уравнением 5 Из уравнения 59 определим производную и запишем ее для момента времени : d A A, d U A Следовательно, уравнение тока во время переходного процесса определяется следующим выражением: U 6 Кривые, С, по форме не отличаются от зависимостей, приведенных на рис4, однако переменные быстрее возрастают и убывают Момент времени, соответствующий максимуму тока рис5: 6 Рис5 Критический процесс при включении в цепь,, постоянного напряжения 6 Колебательный периодический процесс Если активное сопротивление контура,, меньше критического: кр, то и корни характеристического уравнения получаются комплексными и сопряженными с отрицательной действительной частью: 4

36 ,, 6 где cв угловая частота ободных или собственных затухающих колебаний в цепи,, Период этих колебаний T 6 Общее решение дифференциального уравнения 44 определяется уравнением 46; аналогичный результат получится, если исходить из общего решения однородного дифференциального уравнения с комплексносопряженными корнями: 5 A sn A cos 64 Для определения постоянных интегрирования используются начальные условия 49, 5 При уравнение 64 имеет вид: A A, откуда A Следовательно, переходный ток в уравнении 64 A sn 65 Для определения A найдем производную полученное выражение при d U : d A cos A sn, U A, откуда U A d и рассмотрим Таким образом, ток в уравнении 65 во время переходного процесса U sn 66 Общее решение 64 однородного дифференциального уравнения для комплексно-сопряженных корней может быть записано в другом виде, если сумму синусоидальной и косинусоидальной функций после

37 преобразования косинуса в синус заменить одной синусоидальной функцией: A sn, 67 где начальная фаза ободных колебаний В этом случае полагают, что отношение g, а и катеты прямоугольного треугольника рис6, гипотенуза которого равна 68 В уравнении 67 неизвестными являются A и, для их d нахождения используем те же начальные условия:, U Уравнение 67 для момента времени : Asn, откуда Таким образом, уравнение 67 имеет вид: Производная от тока равна: d A sn 69 A cos A sn Рис6 Прямоугольный треугольник с параметрами,, Это уравнение при определяется выражением: U A, откуда U A A После подстановки в уравнение 67 найденных постоянных получаем тот же результат 66 для переходного тока Переходные напряжения на индуктивности и емкости можно определить следующим образом: 6

38 пр d, U Кривые и во время переходного процесса представлены на рис7 Ток совершает затухающие колебания с угловой частотой T относительно нулевого значения; частота и коэффициент затухания зависят только от параметров контура,, Из уравнений 6, 6 видно, что при увеличении за счет увеличения уменьшается и увеличивается период T Напряжение колеблется с той же частотой с затуханием амплитуды около оего установившегося значения U и не может превзойти U Оно достигает наибольшего значения через,5t после включения цепи В момент времени в соответствии с законами коммутации,, следовательно, напряжение на индуктивности U и затухает, колеблясь относительно оси времени Рис7 Переходный ток и переходное напряжение на емкости для периодического процесса Чем меньше коэффициент затухания по сравнению с, тем медленнее затухает колебательный процесс и тем ближе частота собственных колебаний к резонансной частоте Величина называется постоянной времени колебательного контура Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля емкости в энергию магнитного поля индуктивности и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в виде тепла в сопротивлении 7

39 В идеальном контуре, активное сопротивление, эти колебания будут без потерь, те незатухающими с угловой частотой Быстроту затухания рассматриваемых колебаний принято оценивать декрементом колебания или логарифмическим декрементом колебания Декрементом колебания называется отношение двух мгновенных значений напряжения или тока в моменты времени и T : c T cв 7 T Это отношение не зависит от времени, а зависит только от параметров цепи,, Логарифмический декремент колебания определяется натуральным логарифмом : ln T 7 После завершения переходного процесса, независимо от его характера, ток в цепи будет равен нулю, а напряжение на емкости будет равно U 7 Разряд конденсатора на цепь, Предположим, что емкостной элемент С был сначала заряжен от источника постоянной ЭДС до напряжения U, а затем он подключается к последовательно соединенным индуктивному и резистивному элементам рис8 Эти элементы могут быть элементами схемы замещения индуктивной катушки Рис8 Схема разряда емкостного элемента на цепь, Переходный процесс определяется только запасом энергии электрического поля емкости в момент коммутации, при этом энергия электрического поля преобразуется в малой доле в энергию магнитного поля индуктивного элемента и в основном расходуется на нагрев резистивного элемента Начиная с некоторого момента времени, в тепло в активном 8

40 сопротивлении переходит не только оставшаяся энергия электрического поля емкости, но и энергия, которая запаслась в магнитном поле индуктивности Таким образом, ток и напряжения во время переходного процесса будут определяться соответствующими ободными составляющими Запишем для схемы дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа: d 7 Так как положительные направления разрядного тока и напряжения противоположны, то: d 7 После подстановки уравнения 7 в уравнение 7 получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной : d d d d или, 74 и характеристическое уравнение, которое аналогично уравнению при подключении цепи,, к источнику постоянного напряжения Следовательно, корни характеристического уравнения будут аналогичны корням уравнения 45:, В зависимости от значений параметров элементов цепи переходный процесс может быть апериодическим или колебательным Общее решение однородного дифференциального уравнения 74 зависит от вида корней характеристического уравнения 7 Апериодический разряд конденсатора Если, то корни, характеристического, кр уравнения будут отрицательные и разные; имеет место апериодический характер ободного процесса Общее решение однородного дифференциального уравнения 74 записывается в виде: 9 A A, 75 cв

41 причем Постоянные интегрирования A, A находим из начальных условий: Разрядный ток конденсатора С и _ U, _ С 4 dс A р A р 76 В уравнении 76 изменен знак разрядного тока, поэтому на графике он будет иметь знак минус Подставив начальные условия для момента времени в уравнения 75 и 76, получим: U A, A A, A откуда постоянные интегрирования: A р U, A Подставим найденные значения постоянных интегрирования в уравнение 75, получим напряжение на емкостном элементе во время переходного процесса: где Разрядный ток U U С р р 77 d U, 78 U С Напряжение на индуктивности d U р р, 79 Кривые изменения С,, приведены на рис9 и Напряжение на емкостном элементе С монотонно уменьшается с начального значения U,

42 а ток возрастает от нуля, достигает максимума, а затем уменьшается Максимум кривой тока и точка перегиба кривой напряжения c происходят в один и тот же момент времени Напряжение на индуктивном элементе изменяется от начального значения U до нуля в момент времени, а затем возрастает до некоторого положительного максимума, после чего уменьшается до нуля Максимум кривой и точка перегиба кривой происходят в один и тот же момент времени После окончания переходного процесса ток и напряжения становятся равными нулю Рис9 Переходное напряжение на емкостном элементе апериодический процесс Рис Разрядный ток и напряжение на индуктивном элементе апериодический процесс 7 Предельный случай апериодического разряда конденсатора Этот случай имеет место, если кр, те корни характеристического уравнения действительные и равные: 4

43 р р Общее решение однородного дифференциального уравнения 74 записывается в виде: р р A A 8 С С Ток разрядки конденсатора в ободном режиме d С A A A 8 Подставим в уравнения 8 и 8 начальные условия при : U, С, получим систему из двух уравнений для определения постоянных интегрирования: U, A A, A 4 откуда A U Подставив значения A и A в уравнения 8, 8, получим напряжение на емкости и ток во время переходного процесса: С U U, 8 dc U U U U U 8 Переходное напряжение на индуктивном элементе d U 84 Кривые С,, по форме не отличаются от изображенных на рис9, Все переменные только быстрее нарастают и убывают В момент времени ток достигает максимального значения 7 Периодический колебательный разряд конденсатора Разрядка конденсатора будет периодической или колебательной, если кр, те корни характеристического уравнения будут комплексные и сопряженные 6:

44 ,, где угловая частота собственных, или ободных затухающих, колебаний в цепи Общее решение уравнения 74 запишем в виде уравнения 64: Ток С A sn A cos 85 dc A cos А е sncв A sn A cos Подставляя начальные условия С U, в уравнения 85, 86, получим для момента времени : откуда 4 U A, A A, A U Таким образом, напряжение на емкости во время переходного процесса С 86 U U sn U cos sn cos 87 Как уже указывалось 67, сумму двух синусоидальных функций можно заменить одной синусоидальной функцией, амплитуду и начальную фазу которой можно определить из треугольника, изображенного на рис6 Результирующая синусоидальная функция будет иметь амплитуду и начальную фазу arcg С учетом этого уравнение 87 запишется в виде: С U sn 88 Теперь можно определить переходный ток и переходное напряжение на индуктивности:

45 dс, 44 d Графики изменения С,, приведены на рис Ток и напряжения являются затухающими синусоидальными функциями с угловой частотой и коэффициентом затухания, которые определяются только параметрами цепи,, Рис Колебательный процесс при разряде конденсатора Причины возникновения затухающих колебаний и параметры, определяющие быстроту затухания, рассмотрены в разделе 6 8 Расчет переходных процессов в разветвленной цепи классическим методом Переходный процесс в разветвленной линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общее решение которых находится как сумма принужденной установившейся и ободной составляющих С учетом рассмотренных примеров определим последовательность, способы анализа и расчета переходных процессов классическим методом в разветвленных цепях Для цепи после коммутации составляем систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для переходных токов и напряжений Положительные направления токов в ветвях выбираются произвольно Рассчитываем электрическую цепь после коммутации в установившемся режиме, обусловленном действием источников энергии постоянного или синусоидального напряжения Выбираем соответствующий расчетный метод и определяем принужденные составляющие искомых

46 переходных токов и напряжений, которые являются частным решением системы неоднородных дифференциальных уравнений Рассчитываем электрическую цепь после коммутации в ободном режиме при исключении внешних источников энергии Свободные составляющие представляют собой общее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений Этот режим обусловлен несоответствием запаса электромагнитной энергии цепи в момент коммутации = тому значению, которое должно быть в принужденном режиме Расчет схемы в ободном режиме позволяет получить характеристическое уравнение, если предварительно ести систему дифференциальных уравнений в ободном режиме к уравнению с одним неизвестным Из характеристического уравнения нужно определить его корни Выражения для ободного тока или напряжения определяются видом корней характеристического уравнения Корни характеристического уравнения могут быть действительными или комплексными Если корни комплексные, то они всегда образуют комплексно сопряженные пары Действительные части всех корней характеристического уравнения всегда отрицательные, что обусловлено затуханием ободных составляющих с течением времени Степень характеристического уравнения равна числу независимых начальных условий в послекоммутационной схеме при максимальном ее упрощении и не зависит от вида источника энергии 4Записываем решение для искомого переходного тока или напряжения в виде суммы ободной и принужденной составляющих 5Рассчитываем заданную электрическую цепь до коммутации и определяем токи в индуктивностях _ и напряжения на емкостях С _ Далее с использованием законов коммутации находим независимые начальные условия:, 6Используя независимые начальные условия и рассматривая систему дифференциальных уравнений п в момент времени =, определяем зависимые начальные условия для искомых функций 7По начальным условиям п5,6 определяем постоянные интегрирования, содержащиеся в ободной составляющей искомой переходной функции п4 8Записываем окончательное выражение для искомой переходной величины тока или напряжения Используя систему дифференциальных уравнений п, при необходимости можно определить остальные переходные тока или напряжения Для анализа переходного процесса рекомендуется построить графики зависимостей от времени искомого переходного тока или напряжения, а также их принужденных и ободных составляющих Рассмотрим более подробно п Для получения характеристического уравнения часто нет необходимости одить систему дифференциальных 45