Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.
При этом числа будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.
Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C 0)
3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и , то ряд тоже сходится и его сумма равна S + .
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
Доказательство. (необходимость)
Пусть , тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство
выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
При этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. при любом n.
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда и при un, vn 0.
Теорема. Если un vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда
Доказательство. Обозначим через Sn и n частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n n M, где М – некоторое число. Но т.к. un vn, то Sn n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к. , а ряд сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q 1 ряд расходится.
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда .
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши.
Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то ряд (1) + (2) + …+ (n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.
Пример. Ряд сходится при >1 и расходится 1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при >1 и расходится 1. Ряд называется общегармоническим рядом.
Следствие. Если f(x) и (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины ui убывают и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:
По свойству абсолютных величин:
То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть - знакопеременный ряд.
Признак Даламбера. Если существует предел , то при 1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.
Признак Коши. Если существует предел , то при 1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
5) Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и , то ряд, составленный из всех произведений вида взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S - произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.
Совокупность таких значений называется областью сходимости.
Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:
Определение. Последовательность сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство
выполняется при n>N.
При выбранном значении >0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.
Определение. Последовательность равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство
выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].
Пример. Рассмотрим последовательность
Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.
Построим графики этой последовательности:
Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.
Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции
Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х0.
Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.
Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа >0 существовал такой номер N(), что при n>N и любом целом p>0 неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :
т.е. имеет место неравенство:
Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом .
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Так как всегда, то очевидно, что .
При этом известно, что общегармонический ряд при =3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
На отрезке [-1,1] выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-, -1) (1, ) расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница
При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех .
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
Из этого неравенства видно, что при x 1) Интегрирование степенных рядов.
Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:
2) Дифференцирование степенных рядов.
Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:
3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:
Произведение двух степенных рядов выражается формулой:
Коэффициенты сi находятся по формуле:
Деление двух степенных рядов выражается формулой:
Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:
Разложение функций в степенные ряды.
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее.
Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.
Пример. Разложить в ряд функцию .
Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:
Если применить к той же функции формулу Маклорена
Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.
Пример. Разложить в ряд функцию
Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.
Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.
При получаем по приведенной выше формуле:
Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.
Пример. Разложить в степенной ряд функцию .
Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.
Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:
1 + x 2 1 – x 2 + x 4 - …
( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2.
Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-; ], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).
Определим коэффициенты этого ряда.
Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:
Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.
Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-; ], то существует интеграл
Такой результат получается в результате того, что .
Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от - до .
Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от - до .
Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.