РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

С разложением чисел на множители учащие­ся знакомятся еще в начальной школе. При оты­скании общего знаменателя им приходится раз­лагать на множители знаменатели слагаемых. Нужно разложение на множители и при сокра­щении дробей.

Одно из основных утверждений арифметики гласит: каждое натуральное число единствен­ным образом разлагается на простые множи­тели. Например:

72 = 2•2•2•3•3; 1001=7•11•13

(разумеется, разложения, отличающиеся лишь порядком множителей, мы считаем одинако­выми). Напомним, что простым числом назы­вается натуральное число, имеющее только два различных делителя (само число и 1). Число 1 не считается простым.

Будем теперь рассматривать не только нату­ральные числа, но и нуль, и отрицательные целые числа. Иными словами, возьмем мно­жество всех целых чисел. На первый взгляд здесь труднее определить понятие простого числа. Ведь, например, 7 = (-1)•(-7). Значит ли это, что число 7 перестает быть простым, если его рассматривать в множестве всех целых чисел? Оказывается, нет, надо только уточнить, что называется простым числом.

Заметим, что число -1 обладает следующим свойством: если разделить 1 на -1, то в част­ном получится целое число. Другим целым числом с таким же свойством является сама единица. Мы будем называть эти числа (1 и -1) делителями единицы.

Назовем целое число р простым, если оно не является делителем единицы, но в любом его разложении в произведение двух целых множителей один из сомножителей обязательно является делителем единицы. При таком опре­делении число 7 остается простым и после пере­хода к множеству всех целых чисел. Простым будет и число -7.

Сохраняет свою силу и основной закон арифметики, однако тоже с небольшим изме­нением формулировки: каждое целое число, от­личное от нуля, разлагается в произведение про­стых целых чисел; это разложение однозначно определено с точностью до перестановок со­множителей и возможного умножения неко­торых сомножителей на -1 (т. е. на делитель единицы). Например,

21 = 3•7=7•3= (-3)(-7)=(-7)(-3). Такие разложения принято считать неотли­чающимися друг от друга.

При решении некоторых сложных вопросов теории чисел пришлось разлагать целые числа не только на целые множители, но и на множи­тели вида а+b Ö 5 , где а и b — целые числа. Числа такого вида сами образуют кольцо. Для них, как и для целых чисел, можно определить понятия простого числа, делителя единицы и т. д. Например, число 2+ Ö 5 — делитель еди­ницы, так как(2+ Ö 5 )(-2+ Ö 5)=1. Вели­ко же было удивление математиков, когда оказалось, что в кольце чисел а+b Ö 5 нару­шается основной закон арифметики о единствен­ности разложения на простые множители. На­пример,

Не однозначно разложение на простые мно­жители и в кольце чисел вида а+b Ö -5 , где

а и b — целые. В этом кольце единственными делителями единицы являются те же числа 1 и -1, что и в кольце целых чисел. Однако

А вот в кольце чисел вида a+b Ö 3 (а и b—целые) имеются делители единицы, кроме 1 и -1, на­пример: (2+ Ö 3)(2- Ö 3)=1. Но разложе­ние на множители в этом кольце однозначно (как всегда, с точностью до перестановки мно­жителей и умножения этих множителей на делители единицы).

В теории чисел полностью изучен вопрос, в каких кольцах вида a+b Ö ±D имеет место однозначность разложения на простые множи­тели, а в каких нет. Мы не будем на этом оста­навливаться.

Разложение многочленов на множители

Разложение целых чисел на множители напоминает другой раздел элементарной мате­матики — разложение многочленов на множи­тели. Этот раздел очень нравился нашему зна­комому Васе Игнатьеву. Он умел разлагать на множители не только такие простые многочлены, как х2-4=(х-2)(х+2), но также спо­собом группировки мог разложить:

Эти примеры он брал из различных задач­ников. Однако, когда он попытался сам при­думать пример и начал разлагать на множители многочлен х2+6х+4, у него ничего не вы­шло. Потом он сообразил, что даже многочлен х2-2 не разлагается на множители. Он за­бросил листок, на котором решал пример, и нашел его только через год, когда перешел в следующий класс. «Над чем же я думал! — воскликнул он, — ведь

Вася думал, что, научившись решать квадратные уравнения, он сможет разлагать на множители любой квадратный трехчлен. Но радость его была преждевременной; когда он взялся за многочлен х2+6х+10, то даже приме­нение иррациональных чисел ему не помогло. При решении квадратного уравнения х2+6х+10=0 появились квадратные корни из отри­цательных чисел, а про такие корни он еще ничего не знал.

Лишь в десятом классе Вася научился раз­лагать и такие многочлены — учитель расска­зал о комплексных числах, после чего он смог решать все квадратные уравнения, а тем самым и разлагать на множители все квадратные трех­члены:

Почему же в разных классах Вася по-раз­ному подходил к задаче о разложении много­члена, почему все больше расширялся класс многочленов, которые он мог разлагать на мно­жители? Ларчик открывается просто — задача о разложении на множители не очень точно по­ставлена. Надо еще указать, какими могут быть эти множители, какими числами должны быть их коэффициенты. В седьмом классе Вася знал только рациональные числа. Поэтому он раз­лагал лишь на множители с рациональными коэффициентами. В восьмом классе он узнал иррациональные числа. Теперь он уже мог пользоваться и множителями с любыми дейст­вительными коэффициентами. Полное благопо­лучие наступило в десятом классе, когда Вася стал встречаться с многочленами, коэффициенты которых комплексные. Таким образом, не­достаточно сказать: «Разложите многочлен f(x)= а0хn+а1хn-1 . +аn на множите­ли». Надо еще сказать, какому полю должны принадлежать коэффициенты этих множителей.

Если все коэффициенты многочлена f(x) принадлежат числовому полю Р, то говорят, что f(x) является многочленом над полем Р. Например, х2+6x+10 является многочленом над полем рациональных чисел, х2+2х+ p — над полем действительных чисел, а многочлен х2+ix+3-i — над полем комплексных чисел.

Разумеется, если поле Р является частью поля P1 (или, как говорят математики, его подполем), то любой многочлен над полем Р может рассматриваться и как многочлен над полем Р1. Ведь его коэффициенты принад­лежат полю Р, а значит, и полю Р1. Такой под­ход бывает удобен при разложении многочле­нов на множители. Например, можно говорить о разложении многочлена x2+6х+10 над полем комплексных чисел.

Разложение многочленов на множители похоже по своим свойствам на разложение це­лых чисел. Только вместо простых чисел надо брать так называемые неприводимые многочлены — те, которые нельзя пред­ставить в виде произведения двух многочленов меньшей степени (над заданным полем). Дели­телями единицы являются только многочлены нулевой степени, т. е. отличные от нуля чис­ла. Как и для целых чисел, здесь каждый мно­гочлен единственным образом разлагается в произведение неприводимых множителей. Разу­меется, такие два разложения, как

отличающиеся лишь делителями единицы, счи­таются одинаковыми.

Разложение многочленов на множители и решение уравнений

Зачем же надо разлагать многочлены на мно­жители? Одна причина ясна — для выполнения действий с алгебраическими дробями, Но есть и другая причина — разложение на множители облегчает решение уравнений. Пусть нам дано уравнение:

Решать уравнения пятой степени мы не умеем. Но если сгруппировать члены в левой части, то получим:

А теперь видно, что левая часть обращается в нуль при x1=-2, х2=1, х3 =-1. Значит, эти числа являются корнями нашего уравнения. Других действительных корней у него нет, так как произведение может равняться нулю, лишь если какой-нибудь множитель равен нулю, а множитель х2+1 при действительных х в нуль не обращается.

Вообще, если левая часть алгебраического уравнения f(x)=0 может быть записана в виде (х-а)р(х)=0, где р(х) — тоже многочлен, то х=а является одним из корней нашего урав­нения. Верно и обратное: если число а являет­ся корнем алгебраического уравнения f(x)=0, то многочлен f(x) делится без остатка на х-а. При этом если коэффициенты многочлена f(x)

и корень а принадлежат полю Р, то тому же полю принадлежат и коэффициенты многочлена р(х), ведь при делении многочленов «стол­биком» мы выполняем над их коэффициентами лишь четыре арифметических действия. Осо­бенно легко решать уравнения, левая часть которых разложена на множители первой сте­пени:

В этом случае ясно, что корнями будут числа a1, а2. аn, а других корней не будет (так как если х отлично от всех чисел a1, a2. an, то ни один из множителей первой степени в нуль не обращается).

Верно и обратное: если мы знаем n корней al, а2. аn многочлена

то он следующим образом разлагается на мно­жители:

Из сказанного ясно, что никакое уравнение n-й степени не может иметь больше, чем n кор­ней. А имеет ли любое уравнение хотя бы один корень? Впрочем, эта задача опять нечетко поставлена: неясно, что значит «любое урав­нение», какими должны быть его коэффици­енты. Неясно и то, какие корни мы будем рас­сматривать.

Основная теорема алгебры многочленов

Мы видели, что чем богаче элементами поле Р, тем больше возможностей разложить над ним заданный многочлен f(x) на множители. На­пример, многочлен х4-2 совсем не разлагается над полем рациональных чисел, но разлагает­ся на три множителя над полем действи­тельных чисел:

Однако расширение поля влечет за собой и расширение множества многочленов, Которые надо разлагать. Ведь если допустить в качестве коэффициентов не только рациональные, но и действительные числа, то придется разлагать не только такие многочлены, как x4-2, но

и такие, как х4- Ö 2, и даже такие, как х4- p . А если допустить комплексные числа, то при­дется рассматривать и многочлены вида х4+i.

К счастью, оказалось, что выигрыш от рас­ширения поля больше, чем проигрыш, — над полем комплексных чисел любой многочлен (не только с рациональными, но и с любыми комплексными коэффициентами) разлагается до конца, т. е. на множители первой степени. А это означает, что всякое уравнение n-й сте­пени с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней. Эту теорему называют основной теоремой алгебры

многочленов. Ее доказал К. Гаусс в 1799 г.

Сложнее обстоит дело с разложением мно­гочлена над полем действительных чисел. Как мы видели, над этим полем многочлен x2+6x+10 не разлагается на множители первой степени. Однако любой многочлен с дей­ствительными коэффициентами, степень кото­рого больше двух, всегда разлагается на мно­жители с коэффициентами того же вида. Поэто­му всякий многочлен с действительными коэф­фициентами разлагается над полем действи­тельных чисел на множители первой и второй степеней.

Решение уравнений в радикалах

Основная теорема алгебры дает только уверен­ность в том, что у каждого алгебраического урав­нения есть корни. (Теоремы такого типа называют в математике теоремами существо­вания.) Однако она ничего не говорит о том, как эти корни искать. Иными словами, вопрос о том, как решить данное уравнение, остается открытым и после доказательства основной теоремы.

Издавна люди занимались решением урав­нений. При этом старались выразить корни уравнения через коэффициенты с помощью четырех арифметических действий и извлечения корней. Это удалось сделать для квадратных уравнений, а впоследствии и для уравнений третьей и четвертой степеней (см. статью «Как люди учились решать уравнения»).

Многие годы усилия математиков были на­правлены на то, чтобы найти решение в радика­лах (т. е. с помощью этих же пяти действий) для любого уравнения пятой степени. Все эти попытки к успеху не привели. Долгое время думали, что дело в недостаточной изобрета­тельности математиков и что когда-нибудь придет математический гений, который решит за­дачу.

Гений действительно пришел, им был моло­дой норвежский математик Н. Абель. Однако вместо желанной формулы он дал отрицатель­ный ответ — решения задачи не существует. Впрочем, сначала Абель ошибся (и гении делают

Нильс Генрик Абель.

ошибки!). Ему показалось, что он нашел фор­мулу, дающую решение уравнения пятой сте­пени в радикалах. Но потом он увидел ошибку, проанализировал свои рассуждения и в резуль­тате получил замечательный вывод: не только неверна выведенная им формула, но и вообще не существует общей формулы, выражающей корни любого уравнения пятой степени через коэффициенты этого уравнения с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.

Циркуль и линейка

На развитие теории уравнений сильное вли­яние оказали задачи о построениях циркулем и линейкой, в особенности задачи о построении правильных многоугольников. Из школьного курса известно, как строить циркулем и ли­нейкой правильный треугольник, квадрат и шестиугольник. В более подробных курсах рассказано о построении правильного пяти­угольника. А вот о построении правильного семиугольника или девятиугольника ничего

не говорится. И это не случайно: ни правиль­ный семиугольник, ни правильный девятиугольник нельзя построить циркулем и линейкой.

Как же это узнали? Ведь доказать разре­шимость задачи сравнительно легко — доста­точно указать путь ее решения. Доказать же, что задачу нельзя решить, очень трудно. Путей решения задачи бесконечно много (мало ли какие построения можно придумать!), и дока­зать, что ни один из них не приведет к цели, на первый взгляд невозможно.

Однако математики справились с этой за­дачей. Для этого они сначала исследовали во­прос, какие отрезки можно построить цир­кулем и линейкой исходя из одного заданного отрезка (в случае построения правильного многоугольника заданным является радиус описанной окружности или сторона искомого правильного многоугольника).

Чтобы ответить на этот вопрос, пришлось ввести понятие квадратичной ирра­циональности. Так назвали числа, которые получаются из единицы с помощью четырех арифметических действий и операции извлечения квадратного корня. Вот для при­мера некоторые числа, являющиеся квадратич­ными иррациональностями:

Все квадратичные иррациональности, вместе взятые, образуют числовое поле, при­чем в этом поле всегда выполнима операция извлечения квадратного корня из положитель­ного числа.

Было доказано, что если задан отрезок а, длина которого принимается за единицу, то циркулем и линейкой можно построить любые отрезки, длины которых являются квадратич­ными иррациональностями, и только эти от­резки.

Например, для построения правильного пя­тиугольника с данной стороной достаточно по­строить его диагональ (тогда все вершины можно будет найти с помощью засечек окружности). Расчеты показывают, что если сторона пяти­угольника равна 1, то его диагональ имеет длину

( Ö 5+1)/2 . Так как это число является квадра­тичной иррациональностью, то построение пра­вильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки возможно.

А вот правильный девятиугольник постро­ить нельзя. Его построение сводится к делению угла в 120° на три равные части. По формулам тригонометрии:

cos3 j =4cos3 j -3cos j .

Положим здесь 3 j =120°. Так как cos120°=1/2,

то для отыскания cos j получим кубическое уравнение:

4cos3 j -3cos j +1/2=0,

или, полагая 2cos j =x, получим уравнение:

Было доказано, что если один из корней кубического уравнения с целыми коэффици­ентами является квадратичной иррациональ­ностью, то у него есть и рациональный корень. А легко доказать, что у уравнения (3) раци­ональных корней нет, значит, нет и корней, являющихся квадратичными иррациональностями. Поэтому и нельзя построить правиль­ный девятиугольник циркулем и линейкой. (Поскольку угол в 120° нельзя разделить цир­кулем и линейкой на три равные части, тем более нельзя указать метод деления циркулем и линейкой на три равные части для произ­вольного угла. Для некоторых углов, например 90°, эта задача разрешима.) Точно так же дока­зывается невозможность построения циркулем и линейкой правильного семиугольника.

Окончательное решение вопроса о постро­ении правильных многоугольников циркулем и линейкой дал в 1796 г. Гаусс. Он доказал,

что если р — простое число, то правильный р-угольник с данной стороной может быть построен циркулем и линейкой в том, и только в том, случае, когда число р можно записать в виде р=22n +1, где n — целое число. Напри­мер, при n=0 имеем р=3, а при n=1 име­ем р=5. Поэтому правильный треугольник и правильный пятиугольник можно построить циркулем и линейкой. При n=2 получаем р=17. Значит, и правильный семнадцатиугольник строится циркулем и линейкой. Мож­но построить циркулем и линейкой даже правильные многоугольники с 257 и 65536 сторонами. А вот при n=5 число 22n+1 оказывается составным. Поэтому правильный (225+1)-угольник нельзя построить циркулем и линейкой.

В древности математики потратили много сил на решение следующей задачи об удвое­нии куба: дан куб со стороной а; построить такой куб, объем которого вдвое больше объема данного куба. Подсчитаем, какой отрезок надо построить для решения этой задачи. Примем длину отрезка а за единицу, а длину ребра иско­мого куба обозначим через х. Тогда объем дан­ного куба будет равен единице, а объем иско­мого куба — двум. По условию задачи должно быть: х3=2. Это уравнение не имеет рациональ­ных корней. Поэтому по упомянутой выше теореме у него нет и корней, являющихся квад­ратичными иррациональностями. Значит, ре­шить задачу удвоения куба циркулем и ли­нейкой невозможно.

Гораздо труднее было доказать, что невоз­можно построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий кругу радиуса 1 (задача о квадратуре круга). Это доказа­тельство было проведено неалгебраи­ческими методами. Было доказано, что сторона такого квадрата не только не является

квадратичной иррациональностью, но даже не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (такие числа называют неалгебраическими или тран­сцендентными).