4.10. Прямоугольный параллелепипед и его объем

Начертим на листе бумаги следующую фигуру, состоящую из шести прямоугольников:

Вырежем ее ножницами по внешнему контуру и, сгибая по начерченным линиям, сложим из нее коробку:

По-научному такая коробка вместе с находящейся в ней частью пространства называется прямоугольным параллелепипедом. Разумеется, если бы мы были настоящими учеными-математиками, нам бы следовало еще доказать, что данную плоскую фигуру действительно возможно сложить в виде коробки. Однако мы это и без того знаем из повседневного опыта, а доказательство получилось бы довольно длинным. Поэтому не будем сейчас тратить на него время.

Прямоугольный параллелепипед характеризуется тремя размерами, обозначенными на рисунке через \(a\) , \(b\) и \(c\) . Они называются длиной, шириной и высотой, причем соответствие между этими названиями и буквами \(a\) , \(b\) и \(c\) может быть самым произвольным. При перечислении этих размеров между ними принято ставить не запятые, а знаки умножения в виде косого крестика: \(a × b × c\) (читается: «а на бэ на це»). После сборки коробки прямоугольники начинают называться гранями, их стороны становятся ребрами, а вершины сохраняют прежнее название вершины. Плоская заготовка, из которой мы собрали коробку, называется разверткой.

Задача \(\) Слиток золота, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда размером

\(a_0 × b_0 × c_0 = 30 \) мм \(×

весит \(m_0 = 115,8\) г. Какова масса \(m\) прямоугольника со сторонами

вырезанного из золотой фольги толщиной \(c = 0,1\) мм?

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед, также сделанный из золота и имеющий размеры

\(a_1 × b_1 × c_1 = a_0 × b_0 × c = 30\) мм \(×

Умея решать задачи на пропорции, мы легко находим его массу:

Но фактически это — не что иное, как кусок фольги площадью

Нам же надо найти массу \(m\) такого куска фольги, площадь которого равна

Опять-таки, пользуясь пропорциями, находим

Подставляя сюда численные значения параметров, получаем окончательный ответ:

Масса куска золота зависит от размеров этого куска и от свойств самого золота, но она никак не может зависеть от размеров какого-то другого куска золота. Значит, в формуле, которую мы получили для массы \(m\) , сомножитель \(\frac\) не зависит от конкретных значений чисел \(a_0\) , \(b_0\) и \(c_0\) . Он характеризует исключительно материал (в данном случае — золото) и называется (объемной) плотностью. Объемная плотность имеет размерность г/см 3 и — подобно другим плотностям, с которым мы имели дело раньше — часто обозначается греческой буквой \(\rho\) :

Произведение \(abc\) , также входящее в формулу для массы \(m\) , называется объемом прямоугольного параллелепипеда и обозначается, как правило, латинской буквой \(V\) . Мы теперь знаем, что масса прямоугольного параллелепипеда \(m\) пропорциональна его объему \(V\) с коэффициентом пропорциональности, равным плотности \(\rho\) .

Конспект

\(1\) . Прямоугольный параллелепипед — это объемная фигура, гранями которой являются шесть прямоугольников. Прямоугольный параллелепипед характеризуется длиной, шириной и высотой: \(a\) , \(b\) и \(c\) .

\(2\) . Объем прямоугольного параллелепипеда равен \(V = abc\) .

\(3\) . Пусть некоторый предмет, имеющий объем \(V\) и массу \(m\) , изготовлен из однородного материала. Тогда (объемная) плотность, определяемая как \(\rho = \frac\) , зависит только от свойств данного материала.

Задать вопрос или оставить комментарий

Вопросы и комментарии

24 декабря, 2015 - 20:13

Владимир Шаинский

Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре А не три а не пять это надо знать Дважды два четыре дважды два четыре А не шесть а не семь это ясно всем Трижды три навеки девять Ничего тут не поделать И не трудно сосчитать Сколько будет пятью пять Пятью пять двадцать пять Пятью пять двадцать пять Совершенно верно Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре А не три а не пять это надо знать Дважды два четыре дважды два четыре А не шесть а не семь это ясно всем У кого друзья ни спросим Шестью восемь сорок восемь Шестью шесть прошу учесть Неизменно тридцать шесть Шестью шесть тридцать шесть Шестью шесть тридцать шесть Совершенно верно Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре Это всем известно в целом мире Дважды два четыре дважды два четыре А не три а не пять это надо знать Дважды два четыре дважды два четыре А не шесть а не семь это ясно всем Дважды два четыре дважды два четыре А не три а не пять это надо знать Дважды два четыре дважды два четыре А не шесть а не семь это ясно всем