§ 2. Декартовы координаты. Координаты вектора, действия над векторами, заданными своими координатами.

А ффинная (декартова) система координат на плоскости задается точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней неколлинеарных (т.е. линейно неза-висимых) векторов . Векторы называютсябазисными векторами (также говорят, что образуютбазис). Векторы определяют две

Рис. 4. координатные оси Ох1 и Ох2 и являются единичными векторами этих осей (рис. 4).

Система координат обозначается через или черезОх1х2.

Пусть М – какая-нибудь точка плоскости; обозначим через и проекции точкиМ соответственно на оси координат Ох1 и Ох2 (рис.5). Длины векторов называются соответственно первой и второй координатой точкиМ.

Любая пара чисел х1, х2 однозначно определяет точку М; точка М с координатами х1, х2 обозначается так: М(х1, х2 ).

Координаты произвольного вектора относительно базиса (относительнобазисных векторов ) называются координатами вектора относительно системы координат ; они являются проекциями вектора на оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 6). Вектор с координатамих1, х2 обозначается так: ; тогда

Координаты любой точки М в данной системе координат – это координаты вектора в этой системе координат ( называютрадиус-вектором точки М).

Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Если , то для координатх1, х2 вектора имеем

Афинная система координат в пространстве строится аналогично с очевидными изменениями.

Задание прямоугольной системы координат на плоскости или в пространстве прежде всего предполагает выбор одной определенной единицы длины (масштаба). После того, как масштаб выбран, прямоугольная система координат определяется (как частный случай аффинной системы) требованием, чтобы единичные координатные векторы ( на плоскости; в пространстве) быливзаимно перпендикулярными ортами (векторы называются основными или базисными ортами прямоугольной системы координат).

Любой вектор может быть разложен по базисным ортам на плоскости ( в пространстве) следующим образом:

Векторы называются компонентами вектора по осям координат.

Коэффициенты разложения x, y, z являются проекциями вектора на соответствующие оси координат.

Проекции вектора на три оси координат называются координатами вектора. Обозначение: = .

Длина вектора вычисляется по формуле:

Направление вектора определяют его направляющие косинусы:

Очевидно, что . (5)

Таким образом, . (6)

Если дано несколько векторов своими координатами:

то координаты суммы этих векторов равны суммам одноименных координат слагаемых векторов, т.е.

Координаты разности двух векторов равны разностям одноименных координат этих векторов, т.е. если , то

Координаты произведения вектора на скаляр равны произведениям координат вектора на тот же скаляр:

Условие коллинеарности двух векторов:

Если даны две точки , то координаты точки , делящей вектор в отношении , т.е. , опреде-ляются так:

Примеры решения типичных задач.

Задача. В трапеции длины основанийAD и ВС относятся как

3 : 2. Принимая за базисные векторы и , найти в этом базисе координаты векторов

Решение. По условию задачи: , т.е. .

Таким образом, вектор

Задача. Вектор составляет с координатными осямиОх и Оу углы . Вычислить его координаты при условии, что .

Решение. Пользуясь равенством (5), найдем угол , который вектор составляет с осьюОz:

В силу равенства (6), имеем:

Из условия задачи следует, что ; т.е.

Задача. Два вектора приложены к одной точке. Определить координаты вектора направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что

Решение. Пусть Найдем векторы и

Т.к. ― ромб (построен на ортах и ), то ― бис-сектриса угла между векторами и . Таким образом: т.е.

По условию задачи:

Задача. Даны три вектора Опре-делить разложение вектора по базису .

Решение. Найдем координаты вектора :

Разложить вектор по базису векторов , значит представить его в виде: .

Получим систему уравнений:

Задачи для самостоятельного решения.

1. В параллелограмме точкаК — середина отрезка ВС и точка О — точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы и , найти в этом базисе координаты векторов (Ответ: ).

2. Дан правильный шестиугольник . Принимая за начало координат вершинуА, а за базисные векторы и , найти координаты вершин шестиугольника и его центра.

(Ответ: ― центр шестиугольника)

3. Даны вершины Разложить векторы, совпадающие с его сторонами, по основным ортам . (Ответ: ; )

4. Найти проекцию вектора на ось абсцисс и компоненту этого же вектора по оси ординат, если и (Ответ: )

5. Найти длину и направление вектора зная, что и

6. Дан модуль вектора и углы Вычислить проекции вектора на координатные оси.

7. Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3. (Ответ: )

8. Даны точки и Проверить, что векторы и коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны. (Ответ: )

9. Дано разложение вектора по базису Определить разложение по этому же базису вектора параллельного вектору и противоположного с ним направления, при условии, что (Ответ: )

10. Проверить, будут ли компланарны данные три вектора:

(Ответ: а) некомпланарны; б) компланарны)

11. Даны три силы: Найти величину и направление равнодействующей силы .

12. На плоскости даны три вектора .

Определить разложение каждого из этих трех векторов, принимая в качестве базиса два других. (Ответ: ).

13. На плоскости даны четыре точки и . Определить разложение векторов и прини-мая в качестве базиса векторы и . (Ответ: