Презентация проекта на тему: "Окружность"

Актуальность Сегодня перед каждым девятиклассником стоит серьёзная задача – для получения аттестата необходимо успешно сдать экзамены по четырём предметам и одним из них является обязательный предмет – математика. Экзаменационная работа по математике состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия» и «Реальная математика», причем для получения удовлетворительного результата необходимо набрать минимум три балла из первого модуля и по два из второго и третьего. Зачастую нехватка всего одного балла по любому из модулей лишает выпускника возможности успешно сдать экзамен. Как показывает статистика прошлых лет, у девятиклассников возникают наибольшие затруднения при выполнении модуля «Геометрия», в частности при решении задания 10 по теме «Окружность, круг и их элементы». Казалось бы, существует много различной литературы и сайтов в интернете для подготовки к ОГЭ, но даже самый прилежный девятиклассник может легко потеряться в потоке этой информации. В открытом банке заданий представлено 378 прототипов задач только к модулю «Геометрия», в частности к заданию 10 их около ста. Поэтому целью моего проекта являлось, из всех прототипов, выделить такой набор задач, которого будет достаточно для успешного выполнения задания по теме «Окружность» и тем самым гарантировать девятикласснику один из двух необходимых баллов в модуле «Геометрия».

Цель Создание ресурса для повторения и отработки темы «Окружность» в виде презентации.

Задачи 1) Дать определение основных понятий. 2) Сформулировать теоремы, относящиеся к данной теме. 3) Составить набор необходимых задач-прототипов по теме «Окружность». 4) Провести занятие-погружение по теме «Окружность» для девятиклассников

Этапы I. Подготовительный этап Определила цели, задачи планируемый результат.

II. Основной этап 1) Подбор теоретического материала 2) Составление набора задач 3) Оформление презентации

III.Проведение занятия - погружение.

Окружность, касательная и хорда.

Раздел 1 Основные понятия

Окружность Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая. О

Радиус окружности Отрезок, соединяющий центр окружности с любой из точек окружности называется радиусом.

Диаметр Диаметр-это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящая через центр этой окружности. Диаметр равен двум радиусам. d=2R

Касательная Прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности. Основные свойства: • Касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведенному к точке касания. • Через любую точку вне окружности можно провести ровно две касательные к окружности. • Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, от общей точки до точек касания равны друг другу.

Секущая Секущая — это прямая, пересекающая окружность в двух точках . Если из точки О проведена секущая, то отрезок ОА называется внешней частью секущей, а отрезок ОВ называется всей секущей. Две секущие образуют угол, в который попадают две дуги окружности. В этом случае говорят, что секущие высекают эти дуги.

Хорда • Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности . Основные свойства: • Самая длинная хорда окружности — это диаметр. • Равные хорды стягивают дуги одинаковой градусной меры. • Если хорда стягивает дугу с градусной мерой α, то ее длина I=2Rsin , где l — длина хорды, стягивающей дугу с градусной мерой α; R – радиус окружности; α — градусная мера дуги, стягиваемой хордой.

Раздел 2 Теоремы Все теоремы разделены на две группы. К первой группе относятся теоремы о вписанном угле и те теоремы, в доказательстве которых используется теорема о вписанном угле, а также теорема о центральном угле. Ко второй группе относятся теоремы, выражающие свойства касательных и секущих.

Центральный угол Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. А О С

Вписанный угол • Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. • Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен половине дуги, на которую он опирается. • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. • Вписанный угол опирающийся на диаметр - прямой. А В С

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков второй хорды. CE*ED=AE*EB

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180 градусов, то около него можно описать окружность.

Величина угла, образованного пересекающимися хордами равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Угол К=90 °

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащего на окружности и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности равна половине угловой величины дуги, заключённой между его сторонами.

Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению внешней части секущей на всю секущую.

Величина угла, образованного касательной и секущей равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Если через точку, лежащую вне окружности проведены две секущие, то угол, образованный этими секущими измеряется полу разностью дуг, заключённых внутри угла.

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Раздел 3 Разбор задач

Задача 1 Найдите хорду, на которую опирается угол АВС=30˚ , вписанный в окружность радиуса 43. Решение: Угол АОС– соответствующий центральный для вписанного угла в 30 гр. Значит, по свойству вписанных углов, угол АОС=60гр Тогда треугольник АОС– не просто равнобедренный, но и равносторонний (угол А= углу С= (180-60):2). А значит, АС=АО=ОС=43 Ответ: 43. А В С О

Задачи для закрепления

Задача 1 Найдите градусную меру угла АОС если, угол АВС=60 градусов. Ответ: 120 градусов А В С О

Задача 2 Найдите градусную меру угла АВС если, угол АОС=32 градуса. Ответ: 16 градуса. В С А О

Задача 3 Найдите градусную меру дуги, на которую опирается угол АВС=41 градус. Ответ: 82 градуса А В С

Задача 2 Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. Решение: Угол, образованный хордой и касательной равен половине дуги, которую он заключает, поэтому величина дуги MK равна 2 · 83° = 166°. Угол MOK — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Значит, угол MOK равен 166°. В треугольнике OMK стороны OK и OM равны как радиусы окружности, поэтому треугольник OMK — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠OKM = ∠OMK = (180° − ∠KOM)/2 = (180° − 166°)/2 = 7°. Ответ: 7. О М К

Задачи для закрепления

Задача 1 Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 75°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. Ответ: 15 градусов М К О

Задача 2 Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Угол ОМК равен 29 градусов. Найдите угол между касательной и хордой КМ. Ответ дайте в градусах. Ответ: 61 градус. О К М

Задача 3 • Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 72°. Найдите величину угла МОК. Ответ дайте в градусах. Ответ: 144 градуса. О К М

Задача 3 Через концы А , В дуги окружности в 104 градуса проведены касательные АС и ВС. Найдите угол С . Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Проведём радиусы к точкам касания, тогда АО перпендикулярен АС и ОВ перпендикулярен ВС. 2. Угол АОВ- центральный, опирающийся на дугу АВ, значит угол АОВ= 104 гр. 3. В 4-х угольнике АСВО известны 3 угла, а сумма внутренних углов 4-х угольника равна 360 гр., то угол С=360-90-90-104=76 . Ответ: 76 А О В С

Задачи на закрепление

Задача 1 Через концы А , В дуги окружности в 110 градусов проведены касательные АС и ВС. Найдите угол С . Ответ дайте в градусах. Ответ: 70 градусов. А О В С

Задача 2 Через концы А , В дуги окружности проведены касательные АС и ВС. Найдите дугу АВ если угол С = 60 градусов. Ответ: 120 градусов. А С В О

Задача 3 Через концы А , В дуги окружности проведены касательные АС и ВС. Найдите большую дугу АВ если угол С = 110 градусов. Ответ: 290 градусов. А С В О

Задача 4 Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности , О- центр окружности , а большая дуга АD окружности , заключена внутри этого угла , равна 136 гр. Ответ дайте в градусах. Решение: Центральный угол АОD, опирается на дугу АD, следовательно равен 136 гр., Тогда смежный ему угол АОВ=44 гр. Угол С = 180-44-90=46. Ответ :46 А С О В D

Задачи для закрепления

Задача 1 Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности , О- центр окружности , а большая дуга АD окружности , заключена внутри этого угла , равна 124 гр. Ответ дайте в градусах. Ответ: 34 градуса А С О В D

Задача 2 Найдите угол АСО, если его сторона касается окружности, О- центр окружности , а меньшая дуга окружности АВ , заключена внутри угла и равна 67 градусов. Ответ дайте в градусах. Ответ: 23 градуса А С О В

Задача 3 Угол АСО равен 71 градус, его сторона СА касается окружности, О- центр окружности. Найдите наименьшую дугу АВ заключённую внутри угла. Ответ дайте в градусах. Ответ: 19 градуса А С О В

Задача 5 В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB. Решение: Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°. Ответ: 30 градусов. А В D С О

Задачи для закрепления

Задача 1 В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD. Ответ: 25 градусов. С D В А О

Задача 2 В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 40°. Найдите величину угла OCD. Ответ: 40 градусов. А В D C О

Задача 3 В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 15°. Найдите величину угла OCD. Ответ: 15 градусов. А В С D О

Задача 6 В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB. Решение: Угол ACB — вписанный, он равен половине дуги AB. Угол АОВ — центральный, опирающийся на ту же дугу. Проведём радиусы ОА и ОВ в точки касания. Сумма углов четырёхугольника AOBD равна 360°. Поэтому угол АСВ= АОВ:2= (360-90-90-70):2=55 Ответ: 55 градусов. А D В С О

Задачи для закрепления

Задача 1 В угол величиной 80° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB. Ответ: 50 градусов. D C А В О

Задача 2 В угол вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла АDВ если, угол АСВ равен 42. Ответ: 96 градусов. С А О В D

Задача 3 В угол величиной 35° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите длину дуги АВ. Ответ: 145 градусов. С В А D О

Задача 7 Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. О Решение: Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому АС=ВС, следовательно, треугольник АВС- равнобедренный. Откуда угол САВ= углу СВА= (180- угол АСВ):2= 54 гр. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он опирается , значит, дуга АВ= 108 гр. Угол AOB — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 108°. Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно, угол ОАВ= углу АВО= (180-108):2=36гр Ответ:36 А В С О

Задачи для закрепления

Задача 1 Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 56°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. Ответ: 28 градусов. А О В С

Задача 2 Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 14°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. Ответ: 7 градусов. А С В О

Задача 3 Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 36 °. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. Ответ: 18 градусов. А О В С

Задача 8 В окружности с центром O ,AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Решение: Угол ACB — вписанный, равен половине центрального угла, опирающийся на ту же дугу, то есть AОВ = 52°. Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен 180° − 52° = 128°. Ответ: 128. А С В D

Задачи для закрепления

Задача 1 В окружности с центром O, AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 112°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 112 градусов. С В О D A

Задача 2 В окружности с центром О отрезки АС и ВD диаметры. Центральный угол АОD равен 138°. Найдите вписанный угол АСВ . Ответ дайте в градусах. Ответ: 21 градус. А С В D О

Задача 3 В окружности с центром в точке О отрезки АС и ВD диаметры. Угол АOD равен 114°. Найдите угол АСВ . Ответ дайте в градусах. Ответ: 33 градуса. А С В D O

Задача 9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30 , BC = . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение: Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора имеем: Ответ: 17.5 А В С

Задачи на закрепление

Задача 1 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 3 , BC = 4 Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ: 2.5

Справочные материалы. 1.) Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.(стр.164-187) 2.) Сайт – «Решу ОГЭ» 3.) Открытый банк заданий. 4.) Геометрия: учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2001.