Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Разумеется, что величина скалярного произведения любых векторов через координаты множителей, зависят от базиса, относительно которого определены координаты. Рассмотрим сначала случай стандартного базиса в пространстве, а затем — произвольного.

Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе

Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:

— если векторы и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис . Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:

Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов и получаем:

Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому

что и требовалось доказать.

1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом , у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов и можно получить из (1.10), полагая .

2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если и координатные столбцы векторов

Для векторов на плоскости соответственно получаем

3. Координаты вектора

В самом деле, подставляя в (1.10) координаты базисного вектора , приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично).

4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения.

Пример 1.15. Даны векторы . Найти скалярные произведения

Решение. По формуле (1.10) вычисляем

Сравнивая вектор со скалярными произведениями обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10.

Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам соответствуют координатные столбцы

что совпадает с полученными ранее результатами.

Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед построен на векторах (см. рис. 1.38). Точка — центр грани , точка делит ребро в отношении . Требуется найти:

а) величину угла между векторами и ;

б) длину ортогональной проекции вектора на прямую

Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе :

По формуле (1.10) находим скалярные произведения:

а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения):

Длина была найдена в примере 1.12.

Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3:

Скалярное произведение векторов в произвольном базисе

Пусть — произвольный базис в пространстве. Найдем скалярное произведение векторов и :

Запишем полученную формулу в матричном виде. Для этого из чисел , называемых метрическими коэффициентами базиса, составим матрицу Грама системы векторов :

Координаты каждого из векторов и соответственно.

Теорема 1.7 (формула вычисления скалярного произведения в произвольном базисе). В произвольном базисе скалярное произведение векторов — координатные столбцы векторов —матрица Грама (1.12) базиса .

1. Для ортонормированного базиса матрица Грама имеет вид

т.е. является единичной. В этом случае по формуле (1.13) получаем

2. Для произвольного базиса на плоскости скалярное произведение векторов и находится по формуле:

где — координатные столбцы векторов — матрица Грама базиса .

В частности, для ортонормированного базиса матрица Грама является единичной: , поэтому скалярное произведение векторов и находится по формуле , что совпадает с (1.9). Заметим, что эта формула также следует из полученной в пункте 1 при .

Пример 1.17. Найти матрицы Грама для следующих базисов:

а) два единичных вектора , служащие сторонами правильного треугольника (рис.1.39,а);

б) три единичных вектора , служащие ребрами правильного тетраэдра (рис. 1.39,6).

Найти длины векторов, имеющих в данных базисах следующие разложения: .

Решение. а) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между ними равен , получаем

Записываем матрицу Грама

Найдем теперь длину вектора . Составляем координатный столбец этого вектора .

Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат: . Следовательно, .

б) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол между любыми двумя из них равен , получаем

Записываем матрицу Грама: . Найдем теперь длину вектора . Составляем координатный столбец этого вектора . Учитывая формулу (1.13), находим скалярный квадрат:

Скалярное произведение векторов во взаимных базисах

Пусть на плоскости задан базис . Базис называется взаимным по отношению к базису , если

Пусть в пространстве задан базис . Базис называется взаимным по отношению к базису , если

Взаимные базисы обладают следующими основными свойствами.

1. Свойство взаимности базисов симметричное: если второй базис взаимен по отношению к первому, то первый взаимен ко второму.

2. Для каждого базиса (на плоскости или в пространстве) существует единственный взаимный базис.

3. Пусть векторы

Тогда их скалярное произведение вычисляется по формуле: , т.е. равно сумме произведений одноименных координат векторов, как и в случае ортонормированного базиса.

4. Если и взаимные базисы, то координаты любого вектора находятся по формулам

Докажем свойство 2. Пусть на плоскости задан базис (рис.1.40,а). Вектор взаимного базиса перпендикулярен вектору , так как (см. второе геометрическое свойство скалярного произведения). Из двух возможных направлений для вектора выбираем то, которое образует острый угол с вектором , так как . Следовательно, направление вектора определено однозначно. Осталось выбрать его длину, используя (1.7): , так как .

Таким образом, направление и длина первого вектора взаимного базиса определяются однозначно. То же можно сказать и в отношении выбора вектора . Доказательство существования и единственности взаимного базиса в пространстве (рис. 1.40,6) проводится аналогично.

Заметим, что для стандартного базиса на плоскости (или базиса в пространстве) взаимный базис совпадает с самим базисом (соответственно )

Докажем свойство 3. Находим скалярное произведение, используя свойства коммутативности и линейности, а также определение взаимных базисов:

что и требовалось доказать.

Свойство 4 следует из формулы, приведенной в пункте З. В самом деле, . Аналогично доказываются остальные формулы в п.4.

Пример 1.18. а) Найти базис, взаимный базису, заданному в примере 1.17,а (рис.1.39,а).

б) Внутри угла величиной взята точка , удаленная от сторон и на расстояния 11 и 2 соответственно. Найти длину отрезка (рис.1.41,б).

Решение. а) Так как базисный вектор единичный, то, учитывая геометрический смысл скалярного произведения (см. разд. 1.4.1), вектор можно построить следующим образом. Через начало вектора (точку (точку и соответственно (штриховые линии на рис. 1.41,а). Точка пересечения этих прямых — конец вектора (его начало совпадает с точкой (построение изображено штрих- пунктирными линиями на рис. 1.41,а). Тогда по построению справедливо , а также . Следовательно, учитывая геометрическое свойство 2 и формулу (1.8): , т.е. выполняются условия взаимности базисов. Найдем длины векторов взаимного базиса. Поскольку угол между векторами и равен (напомним, что ), то из прямоугольного треугольника с катетом . Длина вектора такая же.

б) Зададим на плоскости базис из единичных векторов , который совпадает с базисом, рассмотренным в пункте "а". По условию задачи известны длины ортогональных проекций вектора . По третьему геометрическому свойству скалярного произведения с учетом свойства 4 взаимных базисов, получаем

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎