Конспект урока по геометрии на тему "Параллельные прямые в пространстве" (10 класс)

Цель урока: ввести понятие параллельных прямых в пространстве; рассмотреть свойства параллельных прямых; рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых; доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых; закрепить эти понятия на моделях куба, призмы, пирамиды; развитие умения обобщать полученные знания; развитие логического мышления, внимания; развитие умения четко выполнять чертежи

Оборудование: учебник Л.С. Атанасян «Геометрия», 10-11 класс; проектор, доска; презентация

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать его цели.

II. Повторение пройденного материала

Верно ли, что если концы отрезка лежат в данной плоскости, то и его середина лежит в данной плоскости?

Могут ли две плоскости иметь общую точку, но не иметь общей прямой?

Точка А не лежит в плоскости KMN. Назовите прямую пересечения плоскостей AMN и AKM.

Даны точки А, В, С и D . Плоскость α проходит через прямую АВ , но не проходит через точку С . Прямые AD и ВС пересекаются в точке В . Сколько данных точек лежит в плоскости α ?

В пространстве даны прямая и точка. Сколько различных плоскостей можно через них провести?

Верно ли, что если три данные точки лежат в одной плоскости, то они не лежат на одной прямой?

Могут ли три прямые иметь общую точку, но не лежать в одной плоскости?

Три прямые пересекаются в точке А. Через данную точку необходимо провести плоскость, содержащую ровно две из трех данных прямых.

Сколько таких плоскостей можно провести? Рассмотрите все возможные случаи.

Одну или бесконечно много

Три или не одной

III. Изучение нового материала

2. Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором - такие прямые называются скрещивающимися.

Даем определение. Сопровождаем показ параллельности, пересечения, скрещивания прямых хотя бы на модели куба, параллелепипеда, пирамиды (рисунки с обозначениями).

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Докажем теорему о параллельных прямых.

Дано: А; А ∈ а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2).

По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость α. Теперь в плоскости а через току А проведем прямую b || а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей.

Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма: а || b ; α; а ∩ α = А (рис. 3).

Доказать, что b ∩ α.

1. а || b определяют плоскость β.

2. Получили, что α и β имеют общую точку А, по аксиоме А3 поэтому поэтому В ∈ α следовательно, В ∈ b , b ∈ α.

Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки В. А это означало бы, что b ⊂ α.

Если бы прямая b имела еще хотя бы одну общую точку с плоскостью α, то она целиком бы лежала в плоскости α, а это значит, что она была бы общей прямой плоскости α и плоскости β, то есть b ≡ m , но это невозможно, так как по условию а || b , и а ⊂ m . Значит, b ⊂ α = B . Лемма доказана.

4) Из планиметрии известно:

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Аналогичное утверждение имеет место и для 3-х прямых в пространстве.

Теорема: Дано: а || с; b || с (рис. 4). Доказать, что а || b , то есть 1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются.

Доказательство: 1) Возьмем на прямой b точку М и через а и М проведем плоскость α. Докажем, что b ⊂ α.

Если допустить, что b ∩ α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с ∩ α, но а || с, значит, а ∩ α, что невозможно, так как а ⊂ α.

2) Прямая a ∩ b , так как в противоположном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b ), параллельные с, что невозможно. И значит, а || b и теорема доказана.

IV. Закрепление изученного материала

Дано: М - середина BD ; N - середина CD ; Q - середина АС; Р - середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).

1. MN || BC по составу средней линии ⇒ MN || PQ ; PQ || BC .

2. РМ || AD по составу средней линии ⇒ PM || QN ; NQ || DA .

3. По определению MNQP - параллелограмм.

4. PQ = 7; РМ = 6 ⇒ Р MNQP = 2(7 + 6) = 26.

V. Подведение итогов

Домашнее задание

п. 4, 5, теоремы. Задача № 16

 Используемая литература:

1. Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.: Просвещение, 2013

2. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И. Ковалева – Волгоград: Учитель, 2004