attachments_26-06-2014_11-15-16 / Лекц 3 Пар 3 Метод Даламбера

Н астоящий параграф посвящён применению теоремы 2.5 к решению некоторых краевых задач о колебательных процессах.

В качестве уравнения (22) возьмём уравнение свободных колебаний струны или стержня

Сравнивая его с общим видом (22), находим

Поэтому a 2 , и уравнения характеристик (26) принимают вид

Общие решения этих уравнений x at C ,

x at D соответственно.

Значит, канонические переменные x at ,

x at . Сделав эту замену

переменных в уравнении (27), получим (проверьте!) уравнение во второй канонической форме u 0 , которое легко решается непосредственным

интегрированием: u , f g . Здесь f , g – произвольные дважды

непрерывно дифференцируемые функции. Возвращаясь к переменным t , x , получаем общее решение уравнения (27):

u t , x f x at g x at .

Пример 3.1. Рассмотрим задачу Коши: уравнение (27) и начальные условия

Решить задачу Коши значит найти функцию, удовлетворяющую в области t 0, x уравнению (27), а на её границе (то есть при t = 0) – начальным условиям (29).

Все решения (27) описываются формулой (28) (напомним, что функции f , g – произвольные). Нужно найти теперь такие f , g , чтобы выполнились условия (29). Для этого подставим формулу (28) в оба условия (29). Мы получим два уравнения для двух искомых функций:

f x g x u 0 ( x ) , a f x a g x u 1 ( x ) .

Первое равенство умножим на a , а второе проинтегрируем (по x ):

a f x a g x a u 0 ( x ) ,

a f x a g x u 1 ( s ) ds K .

Понятно, что находя теперь разность и сумму полученных равенств, и деля оба раза на 2 a , получим формулы для функций f ( x ) и g ( x ) соответственно. Не выписывая явно найденные выражения, обозначим их для дальнейшего символами f 0 x и g 0 x . Подставляя их обратно в (28), получим решение данной задачи Коши:

u t , x f 0 x at g 0 x at .

Пример 3.2. Смешанная задача о свободных колебаниях

полуограниченной струны. В области t 0,

x 0 нужно найти решение

уравнения (27) с начальными условиями (29) и граничным условием

(или u x t ,0 w ( t ) ).

Решение смешанной задачи ищется сначала в области x at 0 (см. рис. 1, сектор I) под главной характеристикой x at 0 .

Заметим, что сектор I ограничен только осью абсцисс t = 0 (в отличие от оси ординат). Поэтому решение данной задачи в секторе I определяется только начальными условиями (29). Значит, оно совпадает с полученным в предыдущем примере решением задачи Коши u t , x f 0 x at g 0 x at .

Теперь найдём решение при x at 0, то есть в секторе II (см. Рис. 1). Заметим, что функция g 0 x at уже определена в этом секторе.

Действительно, прямые линии (характеристики), задаваемые уравнениями вида x at const заполняют и сектор I, и сектор II (Рис. 1, красный цвет). На каждой такой линии x at const , поэтому, g 0 x at const g 0 M . Для характеристик другого семейства x at const это неверно.

Следовательно, для отыскания функции u t , x в секторе II можно

использовать функцию g 0 x at , а функцию f 0 x at

причине будем искать решение u t , x в секторе II в виде

u t , x f 1 x at g 0 x at ,

где функция f 1 x at ещё должна быть найдена.

Сектор II ограничен только осью ординат x = 0 . Поэтому логично применить для нахождения функции f 1 x at условие (31) или (31`). Рассмотрим, например, применение условия (31`). Подставим (32) в (31`):

f at g at w ( t ) , или

f at w ( t ) g at .

. Тогда можно записать

) g s . Теперь осталось проинтегрировать последнее

f 1 s g 0 s w y a dy K . Наконец, найденную

функцию f 1 s подставим в (32)

(в том числе, заменяем s на x at ):

Итак, решение смешанной задачи (27), (29), (31`) даётся формулой

Пример 3.3. Смешанная задача о свободных колебаниях ограниченной струны с заданными законами движения концов.

Условие ограниченности струны означает, что задача поставлена в области t 0, 0 x l . Как и ранее, задача содержит уравнение (27), начальные условия (29), и, кроме того граничные условия

Поиск решения использует приёмы примеров 3.1 и 3.2 по схеме, изображённой на рис. 2. Опишем её кратко.

Искомое решение в области G 00 зависит только от начальных условий

(при t = 0). Поэтому, действуя как в примере 3.1, найдём решение в виде u t , x f 0 x at g 0 x at .

При этом, по причине, изложенной в примере 3.2, функция f 0 x at определена и в области G 01 , а функция g 0 x at – в области G 10 . Значит,

действуя, как в примере 3.2, в области G 10 найдём решение в виде u t , x f 1 x at g 0 x at ,

а в области G 01 – в виде u t , x f 0 x at g 1 x at .

По тем же причинам расположения характеристических прямых, функция f 1 x at оказывается определённой уже и в областях G 11 , G 12 . Аналогично, функция g 1 x at уже определена в областях G 11 , G 21 .

Таким образом, уже найдено решение в области G 11 : u t , x f 1 x at g 1 x at .

В областях G 21 , G 12 решение определяется только граничными условиями (34) и (35) соответственно. Используем эти условия как в примере 3.2 для отыскания функций f 2 x at (в области G 21 ) и g 2 x at (в области G 12 ). Решение задачи в этих областях запишется тогда формулами

u t , x f 2 x at g 1 x at

u t , x f 1 x at g 2 x at

Понятно, что этот процесс можно продолжать неограниченно,

постепенно получая решение во всей области t 0,

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.