§ 12 общее уравнение прямой уравнение прямой с угловым коэффициентом угол между двумя прямыми условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Угол а, определяемый, как показано на черт. 9, называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угло­вым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k — угло­вой коэффициент, b — величина отрезка, ко­торый отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то её угловой коэффициент

определяется по формуле k =

Уравнение у — y 0 = k(x—х а ) является уравнением прямой, которая проходит через точку М 0 (х 0 ; у 0 ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки M 1 ( x 1 ; у 1 ,) и М 2 (х 2 ; у 2 ), то её угло­вой коэффициент определяется по формуле

Является уравнением прямой, проходящей через две точки

М 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; у 2 )

Если известны угловые коэффициенты двух прямых k 1 и k 2 , то один из углов φ между этими прямыми определяется по формуле

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

k 1 k 2 = —1 или k 2 = —

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

*) Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы будем пони­мать уравнения прямых, на которых лежат стороны.

210. Определить, какие из точек М 1 (3; 1), М 2 (2; 3), М 3 (6; 3), М 4 (— 3; —3). М 5 (3; —1), М 6 (— 2; 1) лежат на прямой 2 x —3 у —3 = 0 и какие не лежат на ней.

211. Точки Р 1 , Р 2 , Р 3 , P 4 , и P 5 расположены на прямой 3 x — 2у —— 6 = 0; их абсциссы соответственно равны числам: 4, 0, 2, — 2 и — 6. Определить ординаты этих точек.

212. Точки Q 1; Q 2 , Q 3 , Q 4 и Q 5 расположены на прямой х —3 у + 2 = 0; их ординаты соответственно равны числам: 1, 0, 2, — 1, 3. Определить абсциссы этих точек.

213. Определить точки пересечения прямой 2 х — 3 у— 12 = 0 с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

214. Найти точку пересечения двух прямых

3 x —4 y —29 = 0, 2х + 5у + 19 = 0.

215. Стороны АВ, ВС и АС треугольника ABC даны соответ­ственно уравнениями *)

4 x +3 у — 5 = 0, х — Зу+10 = 0, х — 2 = 0.

Определить координаты его вершин.

216. Даны уравнения двух сторон параллелограмма

8 x +3 y +1=0, 2x+y— 1=0

и уравнение одной из его диагоналей

Определить координаты вершин этого параллелограмма.

217. Стороны треугольника лежат на прямых

x +5 у — 7 = 0 , 3 x — 2 y — 4 = 0, 7 x + y +19 = 0.

Вычислить его площадь S.

218. Площадь треугольника S = 8 кв. ед.; две его вершины суть точки A (1; —2) и В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой

Определить координаты вершины С.

219. Площадь треугольника S=1,5 кв. ед., две его вершины суть точки A (2; —3) и В(3; —2); центр тяжести этого треуголь­ника лежит на прямой

Определить координаты третьей вершины С.

220. Составить уравнение прямой и построить прямую на чер­теже, зная её угловой коэффициент k и отрезок b , отсекаемый ею на оси Оу:

1) k = 4 , b = 3; 2) k = 3, b = 0; 3) k = Q,, b = — 2;

4) k = — , b = 3; 5) k = —2, b = — 5; 6) k = — , b = .

221. Определить угловой коэффициент k и отрезок b , отсекаемый на оси Оу, для каждой из прямых:

1) 5х—у + 3 = 0; 2) 2х +3 у — 6 = 0;

3) 5х + 3 у +2 = 0; 4) 3 x +2 y ; = 0; 5) y — 3 = 0.

222. Дана прямая 5 х +3 у — 3 = 0. Определить угловой коэф­фициент k прямой:

1) параллельной данной прямой;

2) перпендикулярной к данной прямой.

223. Дана прямая 2х+3 у +4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2; 1):

1) параллельно данной прямой;

2) перпендикулярно к данной прямой.

224. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

2 х —3 у +5 = 0, 3 х +2 у — 7 = О

и одна из его вершин A (2; —3). Составить уравнения двух дру­гих сторон этого прямоугольника.

225. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

х — 2у = 0, х — 2 y +15 = 0

и уравнение одной из его диагоналей

Найти вершины прямоугольника.

226. Найти проекцию точки Р(—6; 4) на прямую

227. Найти точку Q, симметричную точке Р(— 5; 13) относи­тельно прямой

228. В каждом из следующих случаев составить уравнение пря­мой, параллельной двум данным прямым и проходящей посредине между ними:

1) 3 х — 2 у— 1=0, 2) 5x+y+3 = 0, 3) 2x+3y — 6 = 0,

3 х — 2 у— 13 = 0; 5x+y—17 = 0; 4 х + 6у +17 = 0;

4) 5х +7 y +15 = 0, 5) 3 х — 15 у — 1=0,

5х +7 у +3 = 0; х — 5у — 2 = 0.

229. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:

а) M 1 ,(2; —5), М 2 (3; 2); б) P (— 3; 1), Q (7; 8);

230. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A (5; —4), В(— 1; 3), С(—3; — 2) параллельно про­тивоположным сторонам.

231. Даны середины сторон треугольника: М 1 (2; 1), М 2 (5; 3) и М 3 (3; — 4). Составить уравнения его сторон.

232. Даны две точки: Р(2; 3) и Q(— 1; 0). Составить уравне­ние прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрез­ку PQ .

233. Составить уравнение прямой, если точка Р(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

234. Даны вершины треугольника М 1 (2 ; 1), M 2 (—1; —1) и M 3 (3; 2). Составить уравнения его высот.

235. Стороны треугольника даны уравнениями 4х—у — 7 = 0, х+ 3 у — 31 = 0, х+5у — 7 = 0. Определить точку пересечения его высот.

236. Даны вершины треугольника A (1; —1), В(—2; 1) и С(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вер­шины A на медиану, проведённую из вершины В.

237. Даны вершины треугольника А (2; —2), В(3; — 5) и С(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вер­шины С на биссектрису внутреннего угла при вершине A .

238. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вер­шинами A (3; 2), В(5; —2), С(1; 0).

239. Через точки М 1 (— 1; 2) и М 2 (2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

240. Доказать, что условие, при котором три точки M 1 (x 1 , y 1 ,), М 2 (x 2 , y 2 ,), и М 3 (х 3 ; у 3 ) лежат на одной прямой, может быть запи­сано в следующем виде:

241. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки М 1 (х 1 ; у 2 ) и M 2 ( х 2 ;_ у 2 ), может быть записано в сле­дующем виде:

242. Даны последовательные вершины выпуклого четырёхуголь­ника A (— 3; —1), B (3; 9), С(7; 6) и D(— 2; — 6). Определить точку пересечения его диагоналей.

243. Даны две смежные вершины А ( — 3; — 1) и B (2; 2) парал­лелограмма АВСD и точка Q (3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

244. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

5 х+ 1 у — 7 = 0, 5 х + 2 у — 36 = 0

и уравнение его диагонали

Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

245. Даны вершины треугольника A (1; — 2), B (5; 4) и С ( — 2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

246. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р (3; 5) на одинаковых расстояниях от точек А ( — 7; 3) и B (11; — 15).

247. Найти проекцию точки Р( — 8; 12) на прямую, проходящую через точки A (2; — 3) и B ( — 5; 1).

248. Найти точку М 1 , симметричную точке M 2 (8; — 9) относи­тельно прямой, проходящей через точки A (3; — 4) и B ( — 1; — 2).

249. На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма её рас­стояний до точек М(\; 2) и N(3; 4) была наименьшей.

250. На оси ординат найти такую точку Р, чтобы разность рас­стояний её до точек М( — 3; 2) и N (2; 5) была наибольшей.

251. На прямой 2 х — у — 5 = 0 найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А ( — 7; 1), B ( — 5; 5) была бы на­именьшей.

252. На прямой 3 x — у — 1=0 найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A (4; 1) и B (0; 4) была бы наиболь­шей.

253. Определить угол  между двумя прямыми:

1) 5 х—y + 7 = 0, 3 x +2 y = 0;

2) 3 x — 2 y +7 = 0, 2 х+Зу— 3 = 0;

3) x — 2 у — 4 = 0, 2 х— 4 y+ 3=0;

4) 3 х+ 2 y — 1= 0, 5 x —2y+3=0.

254 . Дана прямая

Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2; 1)под углом 45° к данной прямой.

255. Точка А( —4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой

Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

256. Даны две противоположные вершины квадрата А(— 1; 3) и С (6; 2). Составить уравнения его сторон.

257. Точка E (1; —1) является центром квадрата, одна из сто­рон которого лежит на прямой

Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

258 . Из точки M 0 (— 2; 3) под углом  к оси Ох направлен луч света. Известно, что tg  = 3. Дойдя до оси Ох, луч от неё отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат лучи падающий и отражённый.

259. Луч света направлен по прямой х— 2 у+ 5=0. Дойдя до прямой 3 x —2 у +7= 0, луч от неё отразился. Составить уравне­ние прямой, на которой лежит отражённый луч.

260. Даны уравнения сторон треугольника

3 х+ 4 у— 1=0, х — 7 у— 17 = 0, 7 x + y + 31=0.

Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.

261. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (х 1 , y 1 ) параллельно прямой

может быть записано в следующем виде:

А(х — х 1 ) + В(у—у 1 ) = 0.

262. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (2;— 3) параллельно прямой:

1) 3х — 7у +3 = 0; 2) х + 9у — 11 =0; 3) 16х — 24у — 7 = 0;

4)2х + 3 = 0; 5)3у — 1=0.

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

У к а з а н и е. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.

263. Доказать, что условие перпендикулярности прямых

А 1 х+В 1 у+С 1 = 0, A 2 х+ B 2 у+С 2 = 0

может быть записано в следующем виде:

A 1 А 2 + В 1 В 2 = 0.

264. Установить, какие из следующих пар прямых перпендику­лярны:

1) 3 х — у + 5 = 0 , 2) 3 х — 4 у + 1= 0 , 3) 6 х – 15 у + 7= 0,

х + 3 у – 1 = 0 ; 4 х — 3 у + 7 = 0 ; 10 х + 4 у — 3 = 0;

4) 9х —12 у + 5 = 0, 5) 7 х — 2 у + 1 = 0, 6) 5х — 7у + 3 = 0,

8х +6y — 13 = 0; 4х + 6у+17 = 0; 3х — 2у — 5 = 0.

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

У к а з а н и е. Воспользоваться условием перпендикулярности прямых, вы­веденным в задаче 263.

265. Доказать, что формула для определения угла между пря­мыми

А 1 х + В 1 у + С 1 = 0, А 2 х + В 2 у + С 2 = 0

может быть записана в следующем виде:

266. Определить угол , образованный двумя прямыми:

1) 3х – у + 5 = 0, 2) х — у — 5 = 0,

2х + у – 7 = 0; (3 + ) х + ( — ) у + 7 = 0;

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

У к а з а н и е. Воспользоваться формулой для определения угла между двумя прямыми, полученной в задаче 265.

267. Даны две вершины треугольника М 1 (— 10; 2) и М 2 (6; 4); его высоты пересекаются в точке N (5; 2). Определить координаты третьей вершины М 3 .

268. Даны две вершины А (3; —1) и В(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; —1) пересечения его высот. Составить уравне­ния сторон этого треугольника.

269. В треугольнике ABC даны: уравнение стороны АВ 5х – 3у + 2 = 0, уравнения высот AN 4x – 3у + 1=0 и BN 7x +2y – 22 = 0. Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

270. Составить уравнения сторон треугольника ABC, если даны одна из его вершин A(1; 3) и уравнения двух медиан

х – 2у + 1 = 0 и у – 1=0.

271. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В ( – 4; – 5) и уравнения двух высот

5х + 3у – 4 = 0 и 3x + 8y +13 = 0.

272. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин

А (4; – 1) и уравнения двух биссектрис

x – 1=0 и х – у – 1=0.

273. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (2; 6), а также уравнения высоты х – 7у + 15 = 0 и биссектрисы 7х + у + 5 = 0, проведённых из одной вершины.

274. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

В (2; – 1), а также уравнения высоты

проведённых из различных вершин.

275. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

С (4; – 1), а также уравнения высоты

проведённых из одной вершины.

276. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

В (2; – 7), а также уравнения высоты

проведённых из различных вершин.

277. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

С (4; 3), а также уравнения биссектрисы

4 + 13 y – 1 0 = 0,

проведённых из одной вершины.

278. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

А (3; – 1), а также уравнения биссектрисы

проведённых из различных вершин.

279. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат и вместе с прямыми

х – у + 12 = 0, 2х + у + 9 = 0

образует треугольник с площадью, равной 1,5 кв. ед.

280. Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключённый между прямыми

2x – у – 2 = 0, х + y + 3 = 0,

делится в точке P пополам.

281. Через точку P ( – 3; – 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключённый между прямыми

х – 2 у – 3 = 0, х — 2y + 5 = 0,

делится в точке P пополам.

282. Через точку P (0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключён­ный между прямыми

х – 2 у – 3 = 0, х – 2y + 17 = 0,

делился бы в точке P пополам.

283. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина её отрезка, заключённого между пря­мыми

2x – y + 5 = 0, 2х – у + 10 = 0,

284. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С( – 5; 4), зная, что длина её отрезка, заключённого между пря­мыми