Примеры решения задач. (м/с), где t время в секундах. В начальный момент времени t 0 = 0 частица находилась в

1 Примеры решения задач Пример Частица движется так, что ее скорость изменяется со временем по закону υ( i j k (м/с, где время в секундах В начальный момент времени 0 0 частица находилась в точке с координатами ( м; 0; 0 Найти: зависимость от времени модуля скорости частицы; зависимости от времени вектора ускорения и модуля ускорения; кинематический закон движения частицы; радиус-вектор в момент времени,0 c; 5 модуль перемещения частицы за время Δ 0 Дано: Решение: υ( i j k (м/с 0 0, 0 м, y 0 0 0,0 c Физическая система состоит из одной частицы, скорость которой изменяется со временем по закону υ( i j k (м/с Так как вектор скорости υ частицы связан с его проекциями υ υ, y, υ на υ( координатные оси? υ υ i υ y j υ k,

2 a (, a(? то зависимости от времени проекций вектора скорости данной частицы на (? (? 5 Δ? координатные оси имеют вид υ ( (м/с, υ y ( (м/с, Модуль скорости частицы связан с его проекциями на координатные оси как искомая зависимость модуля скорости частицы от времени имеет вид образом: Вектор ускорения a можно выразить через его проекции a, a a i a y j a k Из определения вектора ускорения d υ a d υ( 9 a y, υ (м/с υ υ υ υ (м/с y, тогда a на координатные оси следующим следует, что проекции вектора ускорения частицы на координатные оси равны производным одноименных проекций ее скорости по времени: a dυ dυ y, ay, d d a dυ d

3 Учитывая, что υ ( (м/с, υ y ( (м/с, υ (м/с, найдем проекции a, a y, a вектора ускорения частицы на координатные оси: a d υ d (м/с, a y dυ y d (м/с, Тогда зависимость от времени вектора ускорения частицы имеет вид Модуль ускорения связан с его проекциями на координатные оси как частицы зависит от времени: a( 9 (м/с a dυ d 0 a( i j (м/с a a a a Кинематический закон движения частицы это зависимость от времени ее радиуса-вектора y, тогда модуль ускорения ( Так как радиус-вектор движущейся частицы можно выразить через ее координаты (проекции радиуса-вектора на координатные оси как от времени координат ( ( i y( j ( k, то для ответа на вопрос задачи необходимо найти зависимости (, y(, ( частицы Из определения вектора скорости d υ d следует, что проекции

4 вектора скорости частицы на координатные оси равны производным ее одноименных координат по времени: Так как υ ( (м/с и υ d dy υ, υ, υ y d d d d, то получаем, что d d d d Умножив левую и правую часть этого уравнения на d, имеем d d Полученное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными, решение которого получают интегрированием левой и правой части равенства: C d d, Поскольку интегралы неопределенные, то полученное выражение содержит константу С, значение которой найдем из начальных условий:

5 0 0 C ; подставляя значения 0 м и 0 0, получаем С м Тогда зависимость от времени координаты ( частицы имеет вид ( (м Аналогично найдем зависимость от времени y( и ( Так как dy d, υ dy y d dy ( d, и υ y ( ( м / с, то dy d, y C

6 Так как при 0 0 координата y 0 0, то С 0 Тогда зависимость от времени координаты y( частицы y( имеет вид Так как d d, d d, C d υ d (м и υ (м/с, то d d, Так как при 0 0 координата 0 0, то С 0 Тогда зависимость от времени координаты ( частицы имеет вид ( (м Определив зависимости от времени координат движения: (, y(, ( частицы, запишем кинематический закон ее

7 k j i ( (м Для нахождения радиус-вектора частицы в определенный момент времени подставим в кинематический закон движения частицы значение,0 c: k j i k j i ( (м Проведя вычисления, получаем k j i ( (м 5 По определению вектор перемещения Δ частицы за время 0 Δ равен ( ( 0 Δ Так как k j y i (, то с учетом начальных условий 0 м и y радиус-вектор частицы в начальный момент времени равен i ( 0 (м Тогда вектор перемещения составляет

8 k j i i k j i Δ, а его модуль равен,5 6,6 9 9 Δ (м Ответ: 9 ( υ (м/с; j i a ( (м/с, 9 ( a (м/с ; k j i ( (м; k j i ( (м; 5 5, Δ (м

9 Пример Однородный диск массой m и радиусом R вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости с угловой скоростью ω 0 К ободу диска приложили касательную силу, под действием которой диск начал останавливаться В какой момент времени τ после начала действия силы диск остановился, если модуль силы зависит от времени как положительная постоянная Дано: m R ω0 O mg M Рис N F Решение: F α, где α некоторая Физическая система состоит из вращающегося однородного диска, на который действуют сила F, сила тяжести mg и сила реакции N оси (Рис Поскольку центр масс 0 0, ω 0 диска неподвижен, то F α, где

10 α cons ω( τ τ? 0 mg N F 0 Запишем основное уравнение динамики вращательного движения диска вокруг неподвижной оси O, совпадающей по направлению с вектором начальной угловой скорости ω0 : dω d mr I где M M I mg M N, ( момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска (см табл ; ω проекция угловой скорости диска на ось O; M момент силы F относительно оси O, M mg и M N ( момент силы тяжести mg и момент силы реакции оси N относительно оси O соответственно Поскольку точка О является точкой приложения сил mg и N, то

11 M mg M N 0 ( Согласно определению момента силы вектор M направлен противоположно оси O, тогда момент силы F относительно оси O равен M F sinβ, где радиус-вектор точки приложения силы F ; β угол между векторами и F Так как модуль радиусавектора равен радиусу диска F относительно оси O в зависимости от времени имеет вид Подставим выражения (, ( и ( в уравнение (: R, угол β 90 0, а модуль силы зависит от времени как M Rα mr d R α ω d (, (5 F α, то момент силы Перепишем полученное уравнение в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными: α ω d mr d

12 Интегрируя левую и правую часть этого уравнения: получим α ω d mr, d α ω mr C (6 Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий: в начальный момент времени 0 0 угловая скорость диска ω ( ω 0 0 Подставляя эти значения в выражение (6, получим откуда С ω0 α ω mr 0 0 Подставляя в (6 значение постоянной С ω0, находим зависимость проекции угловой скорости вращения диска от времени: C,

13 α ω ( ω0 mr (7 В момент τ остановки диска его угловая скорость равна нулю, те α 0 ω0 τ mr Из этого уравнения выразим момент остановки диска: τ Ответ: mrω α 0 τ mrω α 0 ω ( τ 0, тогда из (7 имеем

14 О ( m υ m m υ Пример На равномерно движущейся железнодорожной платформе жестко закреплено орудие, из которого произведен выстрел в сторону, противоположную движению платформы Определить скорость платформы до выстрела, если после выстрела ее скорость стала равной 9,0 м/с, а снаряд вылетает со скоростью 00,0 м/с под углом 0 0 к горизонту относительно платформы Масса платформы с орудием 950 кг, масса снаряда 50 кг Дано: m 950 кг m 50 кг υ 9,0 м/с u 00,0 м/с α 0 0 m υ О Рис Решение: Физическая система состоит из двух тел: платформы с орудием массой m и снаряда массой m В первом состоянии (до выстрела импульс p системы относительно земли был равен p ( υ m m, ( υ? где υ скорость относительно земли платформы с орудием и снарядом до выстрела (Рис

15 Во втором состоянии (после выстрела импульс p системы относительно земли стал равным p mυ mυ, ( где υ скорость относительно земли платформы с орудием после выстрела; υ скорость относительно земли снаряда после выстрела u υ α О Рис υ Согласно закону сложения скоростей скорость υ снаряда относительно земли равна геометрической сумме скорости u снаряда относительно платформы и скорости υ платформы относительно земли (Рис : υ u υ ( Подставив выражение ( в уравнение (, получим

16 p mυ m( u υ mυ mu mυ ( Система «платформаснаряд» незамкнута, но сумма проекций всех внешних сил (сил тяжести и силы реакции опоры, действующих на эту систему, на ось O (рис равна нулю, а сила трения пренебрежимо мала, следовательно, проекция импульса данной системы на ось O сохраняется: где после выстрела p p, (5 p проекция на ось O импульса p системы до выстрела; Спроектировав выражения ( и ( на ось O, получим Уравнения (6 и (7 подставим в равенство (5: p ( m mυ, (6 p m m u m υ cosα υ ( m m υ mυ mu cosα mυ Выражая скорость платформы до выстрела, получим p проекция на ось O импульса p (7 системы

17 ( m υ m m u m m υ cos α Подставляя числовые значения, вычислим скорость платформы до выстрела: Ответ: ( m υ υ m υ mu cosα m m ( , ,0, м/с,7 (м/с

18 Z m г L O ω г ω с Рис mг Пример В центре скамьи Жуковского массой 5 кг и радиусом м, вращающейся с угловой скоростью,5 рад/с, стоит человек и держит на вытянутых руках две гири по кг каждая Расстояние от каждой гири до оси вращения составляет 85 см С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси вращения станет равным 0 см? Считать, что момент инерции человека относительно оси вращения пренебрежимо мал R Дано: m c 5 кг Решение: Скамья Жуковского представляет собой однородный диск, который может свободно

19 R м ω,5 рад/с m г mг m г кг 85 см 0,85 м 0 см 0,0 м вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости Момент инерции скамьи относительно этой оси равен (см табл : I ч m R I с с ( Физическая система состоит из скамьи с человеком и двух гирь По условию момент инерции человека относительно оси вращения равен нулю, те 0 Гири можно считать материальными точками и, тк они находятся на одном и том же расстоянии до оси вращения (рис, то момент инерции гирь относительно этой оси равен I г mг mг mг, ( ω -?

20 где расстояние от каждой гири до оси вращения Поскольку момент инерции I всей системы относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех тел системы относительно этой же оси, с учетом ( и ( имеем m R m m R m I I I г с г с г c Момент инерции системы относительно оси вращения в первом состоянии (каждая гиря находится на расстоянии от оси равен m R m m R m I г с г с Так как в первом случае скамья и гири вращаются относительно оси с одинаковой угловой скоростью ω ω ω г c (рис, тогда момент импульса системы относительно оси О будет равен ω ω m R m I L г с ( Во втором состоянии (каждая гиря находится на расстоянии от оси вращения момент инерции системы

21 относительно оси вращения равен I m R m R с с mг mг, а поскольку скамья и гири вращаются относительно оси с одинаковой угловой скоростью ω c ω г ω, тогда момент импульса L системы относительно оси О будет равен: L I mсr mг ω ω ( Так как моменты внешних сил (сил тяжести и реакции опоры, действующих на систему относительно оси вращения O, равны нулю, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется: L L (5 Подставим в (5 выражения ( и (: m с R ω ω, m m R m г с г

22 откуда угловая скорость ω mсr ω ω m R с mг m г выражается как Подставляя числовые значения, вычислим угловую скорость ω : ω 5,5 5 0,85 0,0 Ответ: ω m R,7 mг m с ω mсr г (рад/с,7 рад/с

23 O Пример 5 После вертикального запуска с поверхности Земли и выключения двигателя скорость ракеты на высоте,5 0 6 м равна 6 км/с На какой высоте над поверхностью Земли скорость ракеты уменьшится до км/с при условии, что на ракету действует только сила тяготения со стороны Земли, а масса ракеты остается постоянной? Масса Земли и ее радиус известны Дано: R h h,5 0 6 м υ 6 0 м/с υ 0 м/с m Рис 5 υ υ Решение: Механическая энергия W ракеты, находящейся в гравитационном поле Земли, которое является потенциальным, складывается из кинетической W k и потенциальной W p энергий: h -? WW k W p (

24 Кинетическая энергия ракеты массой m, движущейся со скоростью υ, равна mυ W k ( Потенциальная энергия ракеты в гравитационном поле Земли: p GMm GMm W R h, ( где G6,67 0 м /(кг с гравитационная постоянная (см «Основные физические константы и величины», M 5,98 0 кг масса Земли, Rh расстояние от центра Земли до ракеты, R 6,7 0 6 м радиус Земли, h высота ракеты над поверхностью Земли На высоте h (рис 5 ракета обладает скоростью υ, тогда согласно ( с учетом ( и ( ее механическая энергия W равна mυ W GMm R h (

25 На высоте h ракета обладает скоростью υ, тогда ее механическая энергия W равна mυ GMm W R h (5 Поскольку на ракету действует только сила тяготения со стороны Земли, являющаяся консервативной силой, то согласно закону сохранения энергии механическая энергия ракеты не изменяется, те W W, а с учетом ( и (5: mυ GMm mυ GMm R h R h Выразив из данного уравнения искомую высоту h, получим h GM ( R h R GM ( υ υ ( R h Произведем вычисления:

26 6 6 6,67 0 5,98 0 (6,7 0,5 0 h 6, ,67 0 5,98 0 (6 0 0 (6,7 0, , 0 6 (м Ответ: h GM GM ( R h R ( υ υ ( R h 5, 0 6 (м Кафедра физики БГУИР