Конспект урока по теме "Степень двучлена, разложение по формуле бином Ньютона"

Методы: проблемно-диалогический, объяснительно - иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: школьная доска, тетради для лекций у учащихся, компьютер, интерактивная доска.

1. Организационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

Вопросы к учащимся:

прочитайте выражения: (х +2у) 2 , (а- b) 3 , (c - d) 2 , (а+1) 3 , (с+3а) 4 , (х -2) 5 .

(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; и т.д.)

Что общего в заданных выражениях?

(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)

Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?

Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы и разности для первых четырёх примеров, для 5 и 6 придётся степень представить в виде произведения степеней и выполнить умножение многочленов.

(х +2у) 2 = х 2 +4ху + 4у 2

(а - 2) 3 = а 3 - 3а 2 2 +3а 2 2 - 2 3 = а 3 - 6а 2 +12а -8.

(c - 0,1d) 2 = с 2 - 0,2cd + 0,01d 2 .

(а+2у) 3 = а 3 + 3а 2 2у +3а (2у) 2 +(2у) 3 = а 3 + 6а 2 у +12ау 2 +8у 3 .

(с+а) 4 = (с+а) 2 (с+а) 2 = (с 2 +2са + а 2 ) (с 2 +2са +а 2 ) =

= с 4 + 2ас 3 +а 2 с 2 + 2ас 3 +4а 2 с 2 +2а 3 с +а 2 с 2 +2а 3 с +а 4 =

= с 4 + 4с 3 а +6с 2 а 2 + 4са 3 +а 4 .

(х -2) 5 = (х -2) 3 (х -2) 2 = (х 3 - 6х 2 +12х - 8) (х 2 - 4х+ 4) =

= х 5 - 4х 4 +4х 3 - 6х 4 +24х 3 - 24х 2 +12х 3 - 48х 2 + 48х - 8х 2 +32х -32 =

= х 5 -10х 4 + 40х 3 - 80х 2 +80х -32. (рис. № 2)

Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?

(Выше степень двучлена, нет известной формулы сокращённого умножения для этих степеней.)

В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, отчего зависело количество подобных слагаемых?

Логично предположить, что если есть формулы для второй и третьей степени двучлена, то возможно существует формулы и для более высоких степеней.

И количество подобных слагаемых тоже подчиняется какой-либо закономерности.

3. Введение нового материала.

Открываем тетради с лекциями и записываем новую тему "Степень двучлена, разложение по формуле бином Ньютона".

Но прежде чем рассмотреть саму формулу, введём определения сочетания и числа сочетаний, используемые в формуле бином Ньютона.

Определение: Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием из n элементов по m (0 ? m ? n) элементов называется любое подмножество, которое содержит m различных элементов данного множества.

Определение: Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначается С , читается С из n по m, вычисляется по формуле:

С = , где n! = 1 2 3 . (n-2)(n-1)n (читается n-факториал).

Отметим некоторые свойства числа сочетаний:

С = С + С , где n, r >1 (рис. № 3)

Рассмотрим пример: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.

Решение: Данные цифры - это множество, состоящее из 5 элементов. Составить двузначные числа - это значит найти все подмножества из двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их число посчитаем по формуле С = = =10. (рис. № 4)

Таким образом, 10 двузначных чисел можно построить из элементов заданного множества. Вы можете это проверить простым перебором, при небольших значениях n и m, это несложно.

Мы вплотную подошли к количеству подобных слагаемых в разложении степени двучлена на многочлен.

Вернёмся к примеру №5: (с+а) 4 = с 4 + 4с 3 а +6с 2 а 2 + 4са 3 +а 4 , что означают коэффициенты перед слагаемыми?

Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С , где n - степень двучлена , m - степень второго выражения.

Степень одного из множителей в одночленах с 3 а или са 3 равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С = = =4, что подтверждается вашими вычислениями. Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с 2 а 2 : С = = =6, что также верно. Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С = С = 1.

Можно проверить на известных формулах квадратов и кубов, что коэффициенты перед слагаемыми подчиняются той же закономерности.

Теперь обратим внимание на степени первого и второго выражений в одночленах, запишем ещё раз примеры №№1-6, опуская само решение:

(х +2у) 2 = х 2 +4ху + 4у 2

(а - 2) 3 = а 3 - 6а 2 +12а -8.

(c - 0,1d) 2 = с 2 - 0,2cd + 0,01d 2 .

(а+2у) 3 = а 3 + 6а 2 у +12ау 2 +8у 3 .

5. (с+а) 4 = с 4 + 4с 3 а +6с 2 а 2 + 4са 3 +а 4 .

6. (х -2) 5 = х 5 - 5 2 х 4 + 10 2 2 х 3 - 10 2 3 х 2 + 5 2 4 х -32 =

= х 5 -10х 4 + 40х 3 - 80х 2 +80х -32. (рис. № 5)

Что вы заметили?

Объединим ваши замечания в следующие правила:

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С , где n - степень двучлена , m - переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

(оставить место в тетради на случай, если появятся ещё какие-либо замечания)

А теперь запишем формулу бинома Ньютона - формулу представления степени двучлена в многочлен.

Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство

(a+b) n = С a n + С a n-1 b + С a n-2 b 2 +:.+ С a n-r b r +:.+ С b n .

Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С - биномиальными коэффициентами. (рис. № 7)

Запишем пример № 6, используя бином Ньютона:

(х -2) 5 = С х 5 + С х 4 (-2) 1 + С х 3 (-2) 2 + С х 2 (-2) 3 +С х 1 (-2) 4 +С (-2) 5 =

Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:

С = С =1; С = С = =5; С = С = = =10.)

=х 5 -5 х 4 2+ 10х 3 2 2 - 10х 2 2 3 +5х 2 4 -2 5 = х 5 -10х 4 + 40х 3 - 80х 2 +80х -32.

Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.

И можем добавить ещё одно правило к правилам слайда № 6.

Что ещё, связанное с коэффициентами вы заметили?

Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Добавим ещё одно правило, связанное со знаками между одночленами, в формуле бином Ньютона задана сумма, у нас же появились минусы.

Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Подведём итоги, что мы знаем о способе разложения степени двучлена в многочлен по формуле бином Ньютона.

Формула бином Ньютона имеет вид:

(a+b) n = С a n + С a n-1 b + С a n-2 b 2 +:.+ С a n-r b r +:.+ С b n .

Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Вы видите, насколько рационализируется работа по возведению двучлена в степень, если использовать бином Ньютона. Но на самом деле нашу работу можно ещё упростить. Достаточно долго вы вычисляли биномиальные коэффициенты, а коэффициенты - это сочетания. Посмотрите внимательно, все ли свойства сочетаний, которые были ранее введены, мы использовали?

Свойство С = С + С , где n, r ?1 (1) осталось не востребованным, именно его используют при построении треугольника Паскаля.

Определение: Треугольник Паскаля - это треугольник, составленный из чисел, являющихся коэффициентами в формуле бином Ньютона.

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей (свойство (1)).

Треугольник можно продолжать до бесконечности, но на практике чаще составляют таблицу для первых 10 степеней.

Треугольник Паскаля для n от 1 до 10. (рис. № 11)

n k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8 k9 k10 k11 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 70 70 56 28 8 1 9 1 9 36 126 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 210 210 252 210 120 45 10 1

4. Практическая работа.

1). Составьте формулы бинома Ньютона, используя первую, вторую и третью строки.

Для n=1 а+b = a+b - получается вполне естественное тождество.

Для n=2 (а + b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 ;

Для n=3 (а + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;

Какой вывод вы сможете сделать?

Известные формулы квадрата и куба суммы или разности двух выражений являются частным случаем формулы бином Ньютона для n =2;3.

2). Дополнительный уровень. (рис. 12)

Сверните сумму в степень двучлена, если это возможно:

16a 4 + 32a 3 +216a 2 +72a +81.

Решение: 16a 4 = (2а) 4 , 81 = 3 4 . Предположим, что данная сумма является (2а+3) 4 .

Тогда второе слагаемое должно быть равно 4(2а) 3 3=96а 3 > 32a 3 , т.е. данная сумма не может быть степенью двучлена. Проверим далее, хотя для ответа в этом уже нет необходимости. Третье слагаемое 6(2а) 2 3 2 =216а 2 - совпадает, четвёртое слагаемое 42а3 3 = 216а > 72а. Итого, допущено две ошибки.

Ответ: данная сумма не может быть степенью двучлена.

5. Обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой (рефлексия).

1. Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона и треугольник Паскаля:

2. Найти значение выражения (С + С ) : С

1а) (х+у) 6 = х 6 +6х 5 у +15х 4 у 2 +20х 3 у 3 +15х 2 у 4 +6ху 5 +у 6 .

1б) (1- 2а) 4 = 1 1 4 (2а) 0 - 4 1 3 2а + 6 1 2 (2а) 2 - 4 1 1 (2а) 3 + 1 1 0 (2а) 4 =

= 1 - 8а + 24а 2 - 32а 3 + 16а 4 .

(напомним, что =n; = .) = = 1.

6. Подведение итогов самостоятельной работы.

7. Подведение итогов урока. Можно ещё раз повторить выводы слайды № 9;11.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎