Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены являются положительными числами:
Существует много достаточных признаков, по которым можно исследовать сходимость числовых рядов. Основными из них для знакоположительных рядов являются следующие признаки:
1) признаки сравнения (в непредельной и в предельной формах);
2) признак Даламбера (в предельной форме);
3) радикальный признак Коши;
4) интегральный признак Коши.
1.Признак сравнения в непредельной форме:
Рассматриваются два знакоположительных ряда: - ряд с неизвестной сходимостью, - ряд с известной сходимостью. Если ряд с известной сходимостью сходится и , то тоже сходится. Если ряд с известной сходимостью расходится и , то также расходится.
из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;
из сходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.
Предполагаем, что для обоих рядов необходимое условие сходимости выполняется.
Для доказательства первой части признака рассматриваем сходящийся ряд , его сумму его частичные суммы :
Рассмотрим частичную сумму ряда с неизвестной сходимостью:
Так как существует и монотонно возрастает вследствие знакоположительности всех членов , то последовательность ограничена сверху числом
так как для , то последовательность также ограничена сверху, например, тем же числом .
Последовательность монотонно возрастает вследствие знакоположительности всех членов . По теореме Вейерштрасса заключаем, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. Но так как существует , то сходится, ч.т.д.
Теперь проведем доказательство второй части:
дано , отсюда следует, что ряд сходиться не может, так как в случае его сходимости из неравенства следовала бы сходимость ряда сходился бы и ряд (по доказанной первой части признака). Поэтому ряд расходится, ч.т.д.
Доказанный признак сравнения остается справедливым, если неравенства или выполняется при , начиная с некоторого номера.
1.1. Признак сравнения в предельной форме:
Рассматриваются два знакоположительных ряда ряд с неизвестной сходимостью, ряд с известной сходимостью. Вычисляется предел . Если А – это число , то оба ряда ведут себя одинаково в смысле сходимости (оба сходятся или расходятся).
Существование такого предела гарантирует, что бесконечно малые слагаемые и имеют одинаковый порядок малости, с одинаковой скоростью стремятся к нулю, и это обеспечивает одинаковую сходимость обоих рядов.
Для применения признаков сравнения нужно знать ряды, сходимость которых считается известной; к таким рядам с известной сходимостью будем относить следующие ряды:
а) геометрический ряд (q>0),
сходится, если ; расходится, если ;
б) - гармонический ряд (расходится)
в) - обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле),
сходится, если параметр ; расходится, если ;
в’) - ряд из обратных квадратов (сходится, так как
является рядом Дирихле с ).
Исследуем сходимость следующих числовых рядов по признаку сравнения:
так как при и ряд сходится, потому что является геометрическим рядом с , то данный ряд также сходится;
имеем очевидное неравенство при ряд сходится, так как это ряд из обратных квадратов; поэтому данный ряд тоже сходится;
этот ряд расходится, так как его члены удовлетворяют неравенству:
при и ряд расходится, потому что является гармоническим (без первого члена);
для членов этого ряда затруднительно написать неравенство с членами какого-нибудь ряда с известной сходимостью; но заметив, что члены этого ряда имеют одинаковый порядок малости с величинами , применим признак сравнения в предельной форме с гармоническим рядом :
⇒данный ряд расходится, так как расходится гармонический ряд.
2.Признак Даламбера
Для знакоположительного ряда вычисляют предел отношения последующего членов к предыдущему: Если
Исследуем сходимость следующих знакоположительных рядов по признаку Даламбера:
Вычисляем предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:
так как получилось, что q=0, то ряд из обратных факториалов сходится;
данный ряд расходится;
ответ о сходимости данного ряда по признаку Даламбера дать нельзя.
3.Радикальный признак Коши
Для знакоположительного ряда вычисляют предел корня n-й степени из общего члена ряда: Если
Исследуем сходимость следующих знакоположительных рядов по радикальному признаку Коши:
данный ряд сходится;
Так как величина положительная, то вычисляем предел её логарифма:
переставляя теперь знаки lim и ln, получим, что:
ответ сходимости гармонического ряда по радикальному признаку Коши дать нельзя.
4.Интегральный признак Коши
Для знакоположительного ряда вводится функция такая, что Рассматривается несобственный интеграл от этой функции: ; Если несобственный интеграл: сходится, то сходится и ряд; расходится, то расходится и ряд.
Доказательство признака проводится на основании геометрической трактовки несобственного интеграла I рода и его сходимости/расходимости.
Если где сходится, то площадь F под кривой можно вычислить; если расходится, то вычислить F нельзя.
Используем эту трактовку для , связанной с рядом, для которой при n=1,2,3…:
Если числовой ряд записать в виде:
то его можно трактовать как площадь неограниченной справа ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников с основанием равным 1 и высотами, равными .
Если интеграл расходится, то площадь F вычислена быть не может, поэтому не может быть вычислена и площадь бесконечной ступенчатой фигуры, изображенной на левом рисунке, так как она больше площади F; следовательно, ряд также расходится.
Если несобственный интеграл сходится и равен числу F, то ряд удобно трактовать как площадь входящей в F ступенчатой фигуры, отделив для этого первый член ряда (смотри рисунок справа):
, очевидно, что сумма в скобках может быть выражена числом, меньшим чем F; поэтому сумма знакоположительного ряда есть и выражается некоторым числом.
Таким образом получено неравенство , которое и означает сходимость числового ряда.⊲
Исследуем сходимость следующих рядов, применяя интегральный признак Коши:
1) гармонический ряд:
Рассмотрим несобственный интеграл:
несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и гармонический ряд;
2) ряд из обратных квадратов:
- непрерывная и монотонно убывающая функция при
несобственный интеграл сходится, следовательно, ряд из обратных квадратов также сходится.
3) - обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)
Очевидно, что при p<0 члены данного ряда монотонно возрастают, а при p=0 остаются все равными 1, поэтому при , следовательно, ряд Дирихле расходится, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости.
Далее рассматриваем случаи , для них необходимое условие сходимости выполняется ( ), поэтому ряд может сходиться;
вводим функцию - непрерывную и монотонно убывающую при и рассматриваем от неё несобственный интеграл:
на основании интегрального признака Коши заключаем, что ряд Дирихле сходится при и расходится при .
Для ответа собираем все случаи проведенного исследования:
обобщенный гармонический ряд
При практическом исследовании числовых рядов на сходимость
рекомендуется проводить работу по следующей схеме:
- указать тип ряда ;
- проверить необходимое условие
- для ряда, который может сходиться, подбирать достаточное условие в соответствии с типом ряда; обычно ответ можно получить по нескольким достаточным признакам;
применять достаточное признаки можно перебором до получения ответа.
1. - знакоположительный ряд;
ряд может сходиться.
Покажем, что сходимость данного ряда может быть получена по нескольким достаточным признакам.
Признак сравнения в непредельной форме:
Ряд сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с , следовательно исходный ряд сходится по признаку сравнения в непредельной форме.
2. - ряд знакоположительный;
необходимый признак сходимости:
ряд может сходиться.
Покажем, что для данного ряда ответ о сходимости можно получить по признаку сравнения в предельной форме или по интегральному признаку Коши, а по признаку Даламбера получить ответ нельзя.
Признак сравнения в предельной форме:
выберем для сравнения гармонический ряд , расходимость которого известна, и вычислим предел отношения членов обоих рядов:
данный ряд так же расходится как и гармонический ряд.
Интегральный признак Коши:
несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд.
ответ о сходимости исследуемого ряда по признаку Даламбера дать нельзя.
Упражнения для самостоятельной работы
Исследуйте сходимость следующих знакоположительных рядов, используя необходимый и один из достаточных признаков сходимости:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)
Ответы к упражнениям для самостоятельной работы
1)сходится (по признакам сравнения);
2)сходится (по признаку Даламбера);
3)расходится (по признакам сравнения);
4)расходится (по признакам сравнения или по интегральному признаку Коши);
5)сходится (по признаку Даламбера);
6)сходится (по радикальному признаку Коши);
7)расходится (т.к. не выполняется необходимое условие сходимости);
8)расходится (т.к. не выполняется необходимое условие сходимости);
9)расходится (по признакам сравнения или по интегральному признаку Коши);