научная статья по теме ЧИСЛО ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ ЧАСТИЦЫ В РАВНОМЕРНОЙ ГРЕБЕНЧАТОЙ СТРУКТУРЕ Математика

Текст научной статьи на тему «ЧИСЛО ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ ЧАСТИЦЫ В РАВНОМЕРНОЙ ГРЕБЕНЧАТОЙ СТРУКТУРЕ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2008, том 48, < 10, с. 1888-1907

ЧИСЛО ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ ЧАСТИЦЫ В РАВНОМЕРНОЙ ГРЕБЕНЧАТОЙ СТРУКТУРЕ

(107005 Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, МГТУ) e-mail: mkov@rambler.ru Поступила в редакцию 18.12.2007 г.

Исследуется так называемое многослойное уравнение, дающее собственные значения энергии квантовой частицы в произвольном одномерном кусочно-постоянном потенциальном поле. Это уравнение, в частности, позволяет вычислять собственные значения энергии частицы в гребенчатой структуре, где потенциал в слоях принимает всего два различных значения. Проводится анализ полученной автором формулы для числа энергетических уровней в равномерной гребенчатой структуре, т.е. в структуре с одинаковыми ширинами потенциальных ям и одинаковыми ширинами стенок между ними. Обосновывается справедливость этого уравнения для всех без исключения равномерных гребенок. Доказывается неограниченный рост числа энергетических уровней при неограниченном увеличении числа потенциальных ям в равномерной гребенке. Устанавливается существование равномерных гребенок со сколь угодно большим заранее заданным числом потенциальных ям, обладающих всего лишь одним энергетическим уровнем. Библ. 4. Фиг. 4.

Ключевые слова: квантовая частица, кусочно-постоянное потенциальное поле, стационарное уравнение Шрёдингера, энергетические уровни, многослойное уравнение.

В [1] на основе многослойного уравнения (см. [2]-[4]) получена формула для числа энергетических уровней в равномерной гребенчатой структуре. Гребенчатой структурой (или гребенкой) называем одномерное поле, в котором потенциал принимает лишь два различных значения, пусть для определенности 0 и и > 0. Крайние слои с номерами 1 и п (п > 3 нечетно) будем считать бесконечными, а потенциал в них равным и. В остальных же слоях, представляющих собой отрезки длины ^ > 0, 2 < г < п - 2, значения потенциала последовательно чередуются, начиная с 0. Стационарное уравнение Шрёдингера, описывающее состояния нашей частицы, записывается в виде

где Ч(х) - волновая функция, т - масса частицы, Е - ее энергия, и 1 - потенциал в г-м слое, й -

постоянная Планка. Удобно перейти к приведенным длинам X = ¡mU x, после чего уравнение

Шрёдингера приобретает вид

_d2l + = E ш -dx-2 и - и '

где величина U¡/U равна либо 0, либо 1. Обозначая отношение E/U через e, будем считать эту безразмерную переменную, имеющую смысл относительной энергии частицы, изменяющейся на интервале (0, 1).

Рассмотрим равномерные гребенчатые структуры, т.е. такие, для которых ширины потенциальных ям и ширины стенок между ямами постоянны. Для равномерной гребенки с приведенной шириной u > 0 потенциальных ям и приведенной шириной v > 0 стенок между ними основную

формулу из [1] для числа энергетических уровней в случае "общего положения" можно записать в виде

а целая часть [х]_ с недостатком есть наибольшее целое число, меньшее х, например [1]_ = 0. Величины B2j = - lim ctg и Je = b0, 1 < j < (n - 1)/2, причем они могут быть равны и Величины

1 П - 1 же B2j + 1 = — = b1 < 0, 1 < j < —---1, конечны, а

Полагая A2 = 0, величины Ak (при и Ф п/2 + nm, m - целое) определяем по формулам

A2j + 1 = 1 + A2jtg и, (2)

Пусть [и/п]_ = с; тогда формулу (1) для равномерной гребенки можно записать в виде

K = -— С + £n- (bü-A2j) + X П-( b1- A2j + 1) + П-( - An). (4)

Перейдем к анализу этой формулы. Во-первых, будет доказана ее применимость для произвольной равномерной гребенки без каких-либо ограничений. Далее рассмотрим вопрос о связи числа энергетических уровней с числом потенциальных ям в структуре. Основным полученным здесь результатом является неограниченный рост числа уровней при неограниченном росте числа ям при произвольных наборах параметров (и, v) гребенки. Задача доказательства этого факта в свое время была поставлена физиком-оптиком A.A. Майером, введшим автора в данную проблематику. Также будет установлено, что при достаточно узких ямах имеются структуры со сколь угодно большим числом ям, обладающие всего лишь одним энергетическим уровнем. Поскольку при и > п число энергетических уровней растет вследствие формулы (4) не медленнее числа ям в гребенке, то в основном рассмотрим случай узких ям: 0 < и < п. Соответственно с этим q будет обозначаться подмножество 0 < и < п открытого первого квадранта Q: и > 0, v > 0 плоскости параметров (и, v).

2. ОТСУТСТВИЕ ИСКЛЮЧЕНИЙ ПРИ ПОДСЧЕТЕ ЧИСЛА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ

Многослойное уравнение в случае равномерной гребенки имеет (см. [1]) вид

tg^ - J1-^- Ö*-1 [ 1 + J^e-rtg ^еи^

1+j^e^tg ^и+q*_1 (tg^ - j^ee

где функция Q*_1 (e) определяется индуктивно следующими равенствами:

i + q* tg ( uje )' 1 + J^th ( vjï-e )

Строго тангенсообразной (котангенсообразной) на интервале (a, b) называем функцию, имеющую положительную (отрицательную) производную на промежутках непрерывности и обладающую разве лишь конечным числом бесконечных разрывов внутри (a, b). В [1], по существу

доказана строгая тангенсообразность на интервале (0, 1) функции F*-1 (e), поэтому число ее нулей на этом интервале, если отвлечься от краевых эффектов, определяется числом ее разрывов на нем. Знаменатель и числитель дроби, задающей F*-1, одновременно в нуль не обращаются. Получая формулу (1), мы учитывали только разрывы этой функции, отвечающие обращению в нуль ее знаменателя, предполагая при этом определенность всех величин, входящих в формулу. Случай, когда величины, входящие в формулу, определены (что имеет место на всюду плотном множестве параметров), мы назвали случаем "общего положения". Однако и в точках, где входящие в F*-1 величины не определены и имеют бесконечные пределы, эта функция также может иметь бесконечные разрывы. Действительно, разрывы функции F*-1 (e) могут возникнуть

в точках, где только одна из функций Q*-1 и tg J

eu терпит бесконечный разрыв. Если в точке e0 обе эти функции имеют бесконечный разрыв, тогда, как легко видеть, e0 - устранимая точка

разрыва функции F*-1 (e) и можно полагать по непрерывности, что F*-1 (e0) = 1 eo

Чтобы разобрать случай бесконечного разрыва функций Q*_ 1, придется рассмотреть функции Wk(e) = —-1— , доопределенные нулем по непрерывности в точках бесконечного разрыва

функций Q*_ 1 (е). Несложно доказать по индукции, что для любого 2 < к < п - 1 множества существования функции Wk(e) и ее производной на интервале (0, 1) совпадают.

Лемма 1. Производная каждой из функций Wk(e) положительна в точках определенности этой функции на интервале (0, 1).

При нечетном к формулу (5) можно переписать в виде

Доказательство. Производная функции W2(e) = ——- = ^ ¡--, очевидно, положительна на (0, 1).

Используем формулу дифференцирования

dW = ЭWk dWk ! + dWk (7)

de д Wk -1 de д e

эу-1 [ 1- у_11ё(и4в)]2

и эта производная положительна в точках своей определенности. Производная же по в имеет вид

д в 24в [ У-118 (и4вв) -1 ]2

и также положительна в точках своей определенности. Таким образом, если (Шк_ 1/(в положительна, то и (Шк/(в также положительна. Шаг индукции при нечетном к обоснован. При четном к, используя формулу (6), получаем

7( 1- в )в + ук-1 (1- в) ш (^Л-в )'

Применяем формулу (7), имеем

ЭУ = в [ 1 - 111 2 ( V УТ-в ) ] дУк-1 [4

в + Л-в Ук-11И (^Л-в )]2'

Эта производная, очевидно, положительна. Выпишем производную по в:

2 (1 - в) в и в (1- в) + Ук-1 (1- в) 11 ()]

Знаменатель этой производной неотрицателен. Чтобы установить ее положительность, достаточно установить положительность числителя. Выражение £ представляет собой квадратный трехчлен относительно переменной Ук _ 1 со старшим коэффициентом который, введя переменную г = V V1 - в, можно записать в виде

(1 - в)[-в2 V + в2 V1И(г)2 + vв - в V1И(г)2 + 71 - в1И(г)]. Преобразуя второй его множитель, получаем

(1- в )Л-в Г -в-+ 11 г!> 0.

Итак, старший коэффициент трехчлена £ положителен и для доказательства положительности самого трехчлена достаточно установить отрицательность его дискриминанта, который разлагается на множители

4в[ 1-1И2 (^Л-в)](в -1)2, х

х [v2вЪ1h(1 - в)2 - V2в3 - V2в2Ш(1 - в)2 + V2в2 - 1И(1 - в)2]. Поскольку первые сомножители положительны, нам достаточно доказать отрицательность последнего сомножителя этого разложения. Используя переменную г = ^ 1 - в, можно записать его в виде

1 .22 .2 . —— (в г - эИ г).

Он отрицателен, поскольку 0 < в < 1, г > 0, а эИг > г при г > 0. Это доказывает положительность производной при четном к. Тем самым доказательство леммы завершено.

Лемма 2. Пусть функция /(х0) = 0 дважды дифференцируема в точке х0,/(х0) = 0 и/'(х0) Ф 0, тогда -г-— = ——--+ В + о(1) при х —► х0, где А = —1—- Ф 0, а В = — / ( 0)

/ (x) x - x0 f' (x0) 2 f ,2( x0)'

Доказательство. Вычислим предел

x ^ xof (x) x — x0 x ^ xo f (x)(x — x0)

где A постоянная. Пользуясь правилом Лопиталя, получаем

Поскольку знаменатель стремится к нулю, то для существования конечного предела необходимо

выполнение условия А = —-—). Еще раз применяя формулу Лопиталя, получаем с учетом этого

р = /"(хо) р 2 * 2 / '2( хо)

Таким образом, В = (хо ^ и лемма доказана. 2 / (хо)

где функции g(e, u), c(e, u), h(e, u) вещественно аналитичны в точкеp = (u0, v0) u одна из функций u-, g(e, u) строго тангенсообразна по e при каждом значении параметра и, а другая строг

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎