Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Общая постановка задачи разложения функции в ряд в комплексной области формулируется так же, как и в действительной области. А именно, для заданной функции , определенной в области который бы сходился в области .

Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Для функции , аналитической в области , сходящийся к в круге , принадлежащем области

Равенство (3.15) означает, что является суммой ряда в круге .

Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство для любого .

Все поставленные вопросы решаются с помощью следующей теоремы.

Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд

Теорема 3.4. Функция, аналитическая в области этой области представляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости которого не меньше, чем расстояние от точки до границы области

где — произвольный контур, принадлежащий области , в частности, — окружность или по формуле

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции: .

2. Вычислить значения производных в точке ; записать коэффициенты по формуле (3.17). Составить ряд по степеням с этими коэффициентами, который соответствует данной функции

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (3.15).

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости, .

1. Функция, аналитическая в точке , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд.

2. На границе круга сходимости ряда есть хотя бы одна особая точка функции, т.е. радиус сходимости круга равен расстоянию от центра разложения до ближайшей особой точки функции.

3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (3.16), (3.17).

Примеры разложения функций по степеням z

Пример 3.13. Записать разложения по степеням функций .

Задачу решаем по вышеприведенному алгоритму.

1. Найдем производные:

В поставленной задаче . По формуле (3.17) имеем

3. Нетрудно убедиться, что все составленные ряды сходятся во всей комплексной плоскости, . В результате получаем формулы, которые ранее были приняты за определения соответствующих функций:

В результате получены так называемые основные разложения.

Пример 3.14. Записать разложения по степеням функций: а) ; б) .

Задачу можно решать, пользуясь алгоритмом, а можно использовать формулы (3.13) для суммы членов геометрической профессии. Заданные функции являются аналитическими во всей комплексной плоскости за исключением одной точки

заметим, что здесь для .

Пример 3.15. Записать разложения по степеням функций: а) ; б) .

Разложения записываются для однозначных ветвей многозначного выражения. Выбор ветви определяется заданием функции в точке .

a) Функция определена во всей комплексной плоскости за исключением . Чтобы получить односвязную область из , проведем разрез, соединяющий точки должна быть внутренней точкой области. Поэтому выбираем разрез, не проходящий через . например по лучу . В полученной односвязной области, где , функция

3. Находим радиус сходимости ряда: , где . В результате получаем

б) Функция определена всюду в за исключением путем разреза по лучу , функция является однозначной , аналитической. Задачу можно решать, как и выше, т.е. по алгоритму, а можно использовать полученный выше результат, введя обозначение имеем разложение . Заменяя , получаем результат

Разложения основных функция в степенной ряд

Разложения, полученные в результате решения примеров 3.13-3.15, носят название основных (табличных) разложений. Выпишем их:

Основные разложения позволяют при решении примеров на разложение функции в ряд Тейлора не пользоваться сформулированным выше алгоритмом, сложность которого связана с техникой дифференцирования и составления формулы общего члена.

Утверждение 3.4. При разложении функции в ряд Тейлора используются основные (табличные) разложения и действия над рядами. Радиус сходимости ряда может быть получен по виду раскладываемой функции без использования формулы общего члена ряда и формул для нахождения радиуса. Радиус сходимости ряда, полученного при разложении данной функции в окрестности точки , равен расстоянию от центра разложения — точки до ближайшей особой точки функции. Если функция является аналитической всюду, то .

Пример 3.16. Разложить по степеням функции комплексного переменного:

а) Обозначим , то есть .

б) Запишем функцию в виде произведения и, используя разложение для , то есть .

в) Чтобы воспользоваться одним из основных разложений, применим тригонометрическую формулу — формулу "понижения". Получим:

Заметим, что свободный член разложения в этой записи встречается дважды, поэтому нужно привести подобные члены. Для этого в записи рада отделим слагаемое при — свободный член:

В результате имеем .

Из этого разложения можно найти значение производной любого порядка функции , так как эти значения связаны формулой (3.17) с коэффициентами разложения: . Поэтому, учитывая, что в разложении присутствуют только четные степени, заключаем, что все производные нечетных порядков от равны нулю, а производная, например, десятого порядка не равна нулю. Найдем ее, используя равенство , где — коэффициент в разложении при . Получим

г) Функция определена всюду, кроме . В односвязной области, например в плоскости с разрезом по лучу , где , возможно выделение однозначных ветвей многозначного выражения (рис. 3.1). Выбираем ту ветвь, для которой , то есть из получаем по степеням в круге ; радиус круга — расстояние от центра разложения до граничной точки .

Чтобы воспользоваться основным разложением, преобразуем функцию следующим образом:

Тогда, обозначая через , получаем при условии , т.е. в круге .

Пример 3.17. Разложить в окрестности точки ветвь функции , для которой .

Функция определена всюду в , кроме точек , т.е. в трехсвязной области — плоскости с выколотыми точками и . Чтобы получить односвязную область, проведем разрезы по лучам, выходящим из этих точек. Например, луч из точки выберем параллельным мнимой оси, , а луч из точки — по действительной оси: . В полученной односвязной области (рис. 3.2) каждая ветвь является аналитической функцией и раскладывается в ряд в круге ( — расстояние от до границы). Здесь ветвь задается условием:

Далее, чтобы использовать основное разложение, преобразуем функцию:

Для числа в силу выбора ветви берем , а функции и раскладываем в ряды, как в предыдущем примере:

В области , принадлежащей выбранной односвязной области, сходятся оба ряда. Используя свойство сложения рядов, получаем окончательный результат:

При разложении функции в ряд в окрестности точки , т.е. по степеням , удобно использовать замену и полученную после замены функцию раскладывать по степеням Пример 3.18. Разложить по степеням функции: a) .

а) Обозначим через , получим: . Здесь

то есть ряд вида , где коэффициент определяется следующим образом: для для — постоянная величина, функция , или .

в) Обозначая через . Разложение этой функции по степеням

Возвращаясь к исходной переменной, получаем разложение исходной функции в круге (рис. 3.3):

Пример 3.19. Разложить по степеням функции: .

Данные функции являются простейшими рациональными (элементарными) дробями. Для их разложения используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии . В первом случае формула используется непосредственно, при , во втором — после преобразования получаем . Разложение заданных функций имеет вид

Соотношения (3.18),(3.19) обобщают формулу , которая получается из них при замечаем, что она является производной от , то есть , поэтому ее разложение можно получить, используя дифференцирование ряда:

Ответ удобнее записать в виде .

Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора

Рассмотрим примеры на разложение в ряд Тейлора рациональных дробей

где и — многочлены. Первые этапы решения задачи аналогичны этапам интегрирования этих дробей. Приведем полный алгоритм.

1. Если дробь неправильная , следует выделить целую часть дроби многочлен.

2. Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:а) записать дробь в виде суммы элементарных дробей вида с неопределенными коэффициентами , где — корень знаменателя, 3. Разложить элементарные дроби в степенные ряды. Основными приемами при этом являются применение формул (3.13),(3.18),(3.19) и правила дифференцирования ряда (см. пример 3.19)).

При разложении по степеням можно предварительно ввести вспомогательную переменную .

Пример 3.20. Разложить по степеням функции: а) ; б) .

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Дробь неправильная, поэтому выделяем целую часть: .

2. Полученная правильная дробь является элементарной дробью.

3. Записываем разложение элементарной дроби и получаем:

Для разложения дроби можно было использовать формулу (3.19) при , то есть .

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Дробь неправильная, выделяем целую часть. Можно, как и выше, применить преобразование дроби:

Можно для выделения целой части применить метод деления "углом", или, обозначая i + 2 = t, произвести почленное деление на одночлен

2,3. Записываем разложение заданной функции, используя формулу (3.19) для правильной дроби:

Получен ряд вида , где . Нетрудно проверить равенство: .

Пример 3.21. Функцию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки , если а) ; б) .

Записываем дробь в виде суммы дробей: .

3. Раскладываем по степеням г каждую элементарную дробь:

В общей области сходимости — круге — записываем сумму рядов разложение исходной дроби:

3. Раскладываем по степеням каждую элементарную дробь:

Записываем разложение исходной дроби в круге

При разложении по степеням, можно было сделать замену и . В первом случае ближайшей к точке является точка , расстояние между точками равно единице и, следовательно, на расстояние, равное двум, и Пример 3.22. Разложить по степеням функции (рациональные дроби): а) ; б) .

Представим дробь в виде . Находим коэффициенты , т.е. из системы

Дробь представлена в виде суммы: .

3. Раскладываем элементарные дроби по степеням

Для исходной дроби получаем разложение:

или, складывая ряды: .

Пример 3.23. Разложить по степеням функции: а) ; б) .

Обе дроби правильные; раскладывать на более простые нет необходимости. Используя основные разложения, получаем ответы:

Пример 3.24. Используя разложение функции , найти значение производной седьмого порядка в точке .

Искомая величина находится по формуле (3.17): , где — коэффициент слагаемого, содержащего степень . При этом нет необходимости находить первые члены разложения, достаточно определить коэффициент при степени

Вычисляем коэффициент и получаем ответ: .

Можно убедиться, что нахождение непосредственным дифференцированием более громоздко.

Пример 3.25. Записать разложение функций a) и б) по степеням до члена, содержащего Решение

а) Применим метод подстановки ряда в ряд, используя основные разложения для функций

где . Записывать большее число слагаемых нет необходимости, так как уже у следующего (первого отброшенного) младшая степень равна

Так как младшая степень выражения равна трем, следовательно,

Приводя подобные члены, получим окончательный ответ:

Разложение, очевидно, можно получить, вычисляя коэффициенты разложения по формуле (3.17), что более громоздко.

б) Разложение можно получить, используя формулу (3.17) для коэффициентов либо произведя деление ряда на ряд методом деления "утлом" или методом неопределенных коэффициентов.

Применим последний прием. Разложение по степеням ищем в виде

По определению деления имеем тождество

Перемножаем ряды справа и приравниваем коэффициенты полученного ряда известным коэффициентам при соответствующих степенях ряда, записанного слева. Получаем систему уравнений

из которой находим коэффициенты .

Ответ получаем в виде . Это разложение справедливо в круге , так как — ближайшая к особая точка функции тангенса .

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎