Набор задач по модулю "ГЕОМЕТРИЯ" в ГИА - 2013 методическая разработка по геометрии (9 класс) по теме

Набор задач по модулю "геометрия" в ГИА-2013 (1 часть) содержит задачи, соответствующие номерам 9-13. Все задачи имеют ответы, а часть из них полное решение. Полезно учителю, работающему в 9 классе при подготовке учащихся к ГИА

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГИА -2013 Набор задач по типу № 9

1. Два угла треугольника равны 40 ∘ и 130 ∘ . Найдите величину внешнего угла при третьей вершине. Ответ дайте в градусах. Ответ: 170

Из теоремы о сумме углов в треугольнике получаем, что третий угол треугольника равен 180 ∘ −40 ∘ −130 ∘ =10 ∘ . Тогда внешний угол при третьей вершине равен 180 ∘ −10 ∘ =170 ∘ .

1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100 ∘ . Найдите любой другой его угол. Ответ дайте в градусах. Ответ: 40

Угол 100 ∘ - тупой и поэтому не может быть углом при основании равнобедренного треугольника. Значит, это угол при вершине.

Тогда на два угла при основании приходится 180 ∘ −100 ∘ =80 ∘ . Поэтому угол при основании равен 80 ∘ :2=40 ∘ .

1. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 40 ∘ . Найдите внешний угол при вершине второго острого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ: 130

Один угол прямоугольного треугольника равен 90 ∘ , поэтому сумма двух других углов равна 180 ∘ −90 ∘ =90 ∘ . Если один острый угол равен 40 ∘ , то второй 90 ∘ −40 ∘ =50 ∘ .

Тогда внешний угол будет равен 180 ∘ −50 ∘ =130 ∘ .

1. В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине острого угла равен 110 ∘ . Найдите другой острый угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

1. Два угла треугольника равны 40 ∘ и 80 ∘ . Найдите наибольший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах. Ответ: 80
2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 42 ∘ . Найдите величину угла CAK , если AK - биссектриса угла A . Ответ дайте в градусах. Ответ: 34,5
3. В треугольнике ABC , углы которого равны ∠ B =40 ∘ и ∠ C =80 ∘ , проведена высота CH . Найдите величину угла ACH (в градусах). Ответ: 50

1. Параллельные прямые AB и CD пересечены секущей AC . CB – биссектриса угла C , ∠ CAB =50 ∘ . Найдите угол ACB . Ответ: 65

1. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 40 ∘ . Найдите угол при основании этого треугольника. Ответ дайте в градусах. Ответ: 20

Предварительный просмотр:

ГИА-2013 Набор задач по типу № 10

1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 72 ∘ и 118 ∘ . Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах . Ответ: 62

Решение : Воспользуемся следующим фактом из геометрии: сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 ∘ . Нам даны два угла вписанного четырехугольника: 72 ∘ и 118 ∘ . Их сумма равна 190 ∘ , а не 180 ∘ , значит, эти углы не противоположные, а соседние.

Тогда напротив угла 72 ∘ лежит угол 180 ∘ −72 ∘ =108 ∘ , а напротив угла 118 ∘ лежит угол 62 ∘ . Меньший из них 62 ∘ .

1. В трапеции ABCD AB = BC = CD . Точки K , L , M и N - середины сторон трапеции. Найдите наибольший угол четырёхугольника KLMN , если угол BAD равен 40 ∘ . Ответ дайте в градусах.

Проведем диагонали AC и BD . KL и NM – это средние линии в треугольниках ABC и ADC соответственно, поэтому они параллельны стороне AC . Аналогично, LM и KN параллельны BD . Значит, стороны четырехугольника KLMN параллельны диагоналям трапеции, и поэтому, во-первых, этот четырехугольник – параллелограмм, во-вторых, его углы равны углам между диагоналями трапеции. Теперь найдем углы между диагоналями трапеции. Данная нам трапеция особенная, в ней равны три стороны, и поэтому диагональ AC является биссектрисой угла A . Действительно, ∠ BAC = ∠ BCA (это углы при основании равнобедренного треугольника ABC ), но и ∠ CAD = ∠ BCA (это накрест лежащие угла при параллельных прямых). Значит, углы BAC , CAD и BCA равны: ∠ BAC = ∠ CAD = ∠ BCA =40 ∘ :2=20 ∘ . Аналогично можно найти угол BDA – он тоже равен 20 ∘ .

Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции. В треугольнике AOD два угла равны по 20 ∘ , следовательно, углы между диагоналями трапеции равны 140 ∘ и 40 ∘ . Значит, и углы четырехугольника KLMN равны тому же самому. Нам нужен наибольший угол – он равен 140 ∘ . Ответ: 140

1. На рисунке изображена окружность с центром O . Угол BON равен 50 ∘ , а угол MAB равен 20 ∘ . Найдите величину дуги NBM . Ответ дайте в градусах. Ответ: 90

Величина дуги NB определяется центральным углом NOB и равна 50 ∘ . Угол BAM вписанный и опирается на дугу BM . Значит, угол BAM равен половине дуги BM . Получается, что величина дуги BM равна 40 ∘ . Теперь можно найти всю дугу NBM , она равна 40 ∘ +50 ∘ =90 ∘ .