1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1 СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение касательной и нормали ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ Возрастание и убывание функции Максимум и минимум функции Выпуклость и вогнутость кривой Точки перегиба Асимптоты НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ Литература

2 ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на открытом множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента, таким малым, чтобы X Тогда функция получит приращение f f Если существует предел f f f lim lim, то он называется производной функции f в точке d Существуют и другие обозначения производной. ' f d Функция f, имеющая производную в каждой точке множества X называется дифференцируемой на этом множестве, операция вычисления производной функции называется дифференцированием Прежде чем воспользоваться таблицами производных, надо установить, является функция простой или сложной Функция f u называется сложной, если u есть функция от : u u, т е f u Производная сложной функции вычисляется по формуле ' ' ( ) fu( u( )) u( ), () т е сначала вычисляется производная функции f u по переменной u, и u по переменной затем она умножается на производную функции Правила дифференцирования c (c const) f f f f f f f f f f а cf c f f f f f f f ( f ) f ' fu u, если f u, u u Разумеется, что для справедливости этих правил необходимо существование производных f, u u u() f, f, Таблица производных, штрих означает производную по переменной

3 n n u nu u ( n R) u u u u u, u sin u cosu u u cos u sin u u 6 tg u u cos u 7 u u ctg, u( ) k 8 arcsin u sin u u u, u 9 arccos u u, u arctg u u u u u u arcctg u u a a ln a u, u const, a u u ( )' u log a u u, a const, uln a ln u u, u u a a, a Пример Найти производные функций: а) cos ; б) ln sin ; в) tg Решение а) Функция () это произведение двух функций f( ) cos и f( ), поэтому по третьему правилу дифференцирования: cos cos cos Из таблицы производных находим, что cos sin, ln sin cos ln ln cos sin Значит, б) ln sin ln sin ln sin cos cos tg tg tg tg tg cos tg Пример Найти производные функций: в) а) ctg ; б) sin ; в)

4 Решение а) Функция это сложная функция 6 u ctg, по формуле таблицы производных ctg sin Таким образом, u Тогда u u ctg ctg, а по формуле ctg sin б) Используем правило дифференцирования а: sin sin Функция sin сложная u sin, f ( u) u Поэтому u u sin sin sin cos в) Дифференцирование неявных функций Пусть значения двух переменных и связаны между собой уравнением F (, ) () Если функция f (), определенная на некотором интервале ( a, b), такова, что уравнение () при подстановке в него вместо выражения f () обращается в тождество относительно, то функция f () обращается в тождество относительно, то функция f () есть неявная функция, определенная уравнением () Например, уравнение неявно задает функцию (а также функцию ) Покажем на примере способ нахождения производных от неявной функции Пример Найти производную функции sin Решение Дифференцируем по все члены этого равенства, помня, что есть функция от : cos

5 7 Слагаемые, содержащие, переносим в левую часть, а все остальное в правую: cos cos, Выразим : cos cos Производная найдена Логарифмическое дифференцирование Довольно часто возникает необходимость вычисления производной функции, где, дифференцируемые функции В этом случае поступим следующим образом: логарифмируем ln ln, продифференцируем это равенство по ln ln, ln Отсюда имеем: ln ln Нет необходимости запоминать эту формулу Достаточно понять идею функцию сначала логарифмируем, затем дифференцируем полученное равенство и находим производную Пример Найти производную функции arcsin Решение Логарифмируем функцию : lnarcsin ln Дифференцируем это равенство по : lnarcsin ln arcsin lnarcsin lnarcsin arcsin lnarcsin arcsin arcsin Поэтому ln arcsin arcsin arcsin

6 8 Производные высших порядков Если производная f функции f определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную, то эта производная от f называется второй производной (или производной второго порядка) функции f в точке и обозначается одним из следующих символов: f, f,, d d f,, d d Третья производная определяется как производная от второй производной и т д Если уже введено понятие n -й производной и если n -я производная имеет производную в точке, то указанная производная называется n -й производной (или производной n -го порядка) и обозначается n n d f d f n, n или, n n d d Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивно по формуле: n n d Пример Найти функции arcsin d d arcsin d d d d d Решение d Пример 6 Найти, если d d Решение Находим d ln ln ln ln d d d Теперь найдем вторую производную Имеем d d d ' ln ln (ln ) ln ln ln Дифференцирование функции, заданной параметрически

7 t Пусть даны две функции t где t t ;t назовем параметром Причем t t Тогда из () f t Задание функции f через называется параметрическим t Если функции t, t имеют производные t и t функция f также имеет производную, вычисляемую по формуле d t t d t 9, () имеет обратную функцию, т е является функцией от t () Вторая производная вычисляется по формуле d t t t t d () t Пример 7 Функция задана параметрически: cost, t ln t, t Найти и Решение Найдем t t cost sin t t t t ln t t t Тогда по формуле () t sin t t sin t Для вычисления найдем t t t t t sin t cost 6cos t sin t 6cost t Подставим в формулу (): t sin t 8sin t t 6cost t 8sin t t tcost t sin t t sin t sin t t 8t sin t t cost 6 Уравнение касательной и нормали Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат, то уравнения касательной и нормали к ней в точке М ( ) имеет вид: f f, где, то

8 f Пример 8 Составьте уравнение касательной и нормали к кривой f в точке Сделать чертеж Решение f f, Уравнение касательной: f Уравнение нормали: ;,, Сделаем чертеж парабола, ветви направлены вниз b Вершина,, 8 a Точки пересечения с осью OX : у, - - х,, -, ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ Изучение количественной стороны различных явлений природы приводит к установлению и изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении величинами Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то мы получаем возможность исследовать эту функциональную зависимость средствами математического анализа Установим общие приемы исследования поведения функции Возрастание и убывание функции Дадим некоторые определения Определение Если функция f такова, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция f называется возрастающей Если же большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция f называется убывающей

9 Пример 9 Функция Q R при R есть возрастающая функция, так как большему значению R соответствует большее значение Q Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции Теорема Если функция f, имеющая производную на отрезке a, b, возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке a, b не отрицательна, то есть f Теорема Если функция f непрерывна на a, b и дифференцируема в промежутке a, b, причем f для a b, то эта функция возрастает на отрезке a, b Геометрически: если на a, b функция f возрастает, то касательная к кривой f в каждой точке на этом отрезке образует с осью O угол : f tg Если f убывает на отрезке a, b, то угол наклона касательной тупой Максимум и минимум функций Определение максимума Функция f в точке имеет максимум, если значение функции f в точке больше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку Иначе: функция f имеет максимум при, если f f при любых (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине Определение минимума Функция f имеет минимум при, если f f при любых как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине Сформулируем необходимое условие существования экстремума Если дифференцируемая функция f имеет в точке максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, то есть f Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю, либо в тех точках, где производная не существует или бесконечна Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль, бесконечность или не существует, называются критическими точками Не всякая критическая точка является точкой экстремума Для отыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции Исследование функций в критических точках опирается на следующие теоремы Теорема Достаточные условия существования экстремума

10 Пусть функция f непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ) Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум Правило исследования на экстремум функции f : Находим область определения функции Ищем первую производную функции, т е f Находим критические значения аргумента : а) приравниваем первую производную нулю и находим действительные корни уравнения f ; б) находим значения, при которых производная f терпит разрыв Проверяем, входит ли критическая точка в область определения функции Исследуем знак производной слева и справа от критической точки 6 Вычисляем значение функции f при каждом критическом значении аргумента Исследование на экстремум можно провести с помощью второй производной Теорема Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки, причем f и выполняется условие: f существует и непрерывна в окрестности точки и f Тогда функция f имеет в точке экстремум: если f, то является точкой минимума функции, если f точка является точкой максимума функции f Пример Исследовать на максимум и минимум функцию Решение Находим область определения функции: определена на всей числовой оси Находим первую производную функции: 6 Находим критические значения аргумента : или 6 ; ; ;

11 Функция определена на всей числовой оси, поэтому точки,, являются критическими, других критических точек нет, так как существует всюду Исследуем знак производной слева и справа от критических точек Критические точки делят область определения на интервалы Проверяем знак f в каждом интервале и изображаем схематически: ma Исследуемая функция имеет одну точку экстремума точку максимума Вычислим значение в точке, В интервале, функция возрастает, а в интервале, функция убывает Выпуклость и вогнутость кривой Точки перегиба Введем декартову прямоугольную систему координат и рассмотрим в ней график кривой заданной функцией f Определение Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале a, b, рис, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале; кривая обращена выпуклостью вниз на интервале b, c, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале a c b c Рис Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз вогнутой Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы Установим признаки, по которым можно было бы судить о направлении выпуклости графика функции f на различных интервалах

12 Теорема Если во всех точках интервала a, b вторая производная функции f отрицательна, то есть f, то кривая f на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла) Теорема 6 Если во всех точках интервала b, c f, то кривая f на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута) Определение Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой Теорема 7 (Достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба) Пусть кривая определяется уравнением f Если f a или f a не существует и при переходе через значение a производная f меняет знак, то точка кривой с абсциссой a есть точка перегиба Правило исследования на выпуклость, вогнутость, точку перегиба: Находим область определения функции f Находим f Находим f Приравниваем f к нулю и определяем, где она не существует или равна Находим критические точки второго рода Проверяем, принадлежат ли эти точки области определения функции, если нет, то их отбрасываем 6 Проверяем знак f левее и правее критической точки второго рода Если знаки разные, то это точка перегиба По знаку f определяем интервалы выпуклости и вогнутости Пример Исследовать на выпуклость, вогнутость, точку перегиба функцию Решение Находим область определения функции:, т е,, f 6 f 8 f не может обращаться в ноль, а в точке х = - f Точка не принадлежит области определения функции, и поэтому она не может быть точкой перегиба Точка делит область определения функции на два интервала. и

13 6 В интервале, f, следовательно, функция выпукла вверх; в интервале, f, следовательно, функция выпукла вниз (вогнута) Не имея точек перегиба, кривая меняет направление выпуклости при переходе через точку разрыва Асимптоты Очень часто приходится исследовать форму кривой f, а значит, и характер изменения соответствующей функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно Введем понятие асимптоты кривой Определение Прямая A называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю Различают асимптоты вертикальные (то есть параллельные оси ординат) и наклонные (то есть не параллельные оси ординат) Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти значения a, при приближении к которым функция f стремится к бесконечности Тогда прямая a будет вертикальной асимптотой Наклонная асимптота имеет вид k b, f где k lim ; b lim f k 6 Пример Найти асимптоты кривой Решение Прямая для данной функции является вертикальной асимптотой, так как предел функции равен бесконечности при lim Находим вертикальные асимптоты k b : 6 f 6 k lim lim lim 6 6 b lim f k lim lim lim

14 6 lim вертикальная асимптота Других асимптот нет, так как при значения k и b будут те же самые Составим общий план исследования функции и построения графиков Для построения графиков функций находим: Область определения функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты Четность функции Точки экстремума и значения функции в этих точках, интервалы монотонности Области выпуклости и вогнутости, точки перегиба Наклонные асимптоты На основании проведенного исследования строим график функции Замечание Функция f называется четной, если при смене знака аргумента не изменяется значение функции, то есть f f и наоборот f называется нечетной, если при смене знака аргумента меняется знак функции, то есть f f График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат Пример Исследовать функцию и построить ее график Решение Область определения функции,, точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет Область непрерывности совпадает с областью определения функции f f функция нечетная, график симметричен относительно O, Исследуем на экстремум: Находим критические точки: ; ; ; х min ma при функция убывает, при функция возрастает, при функция убывает

15 7 Находим значение функции в точке и точке ; Определим области выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой: ; ; ; при кривая выпуклая, при кривая вогнутая, при кривая выпуклая, при кривая вогнутая Находим асимптоты кривой: k b f k lim lim lim = х b lim f k lim lim асимптота Строим график функции:

16 8 НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ Наибольшее и наименьшее значения функции связаны с понятием экстремума функции Определение Максимумом ma или минимумом min функции f называются такие ее значения f, для которых имеют место неравенства f h f (для случая максимума) и f h f (для случая минимума) при любых значениях h, положительных и отрицательных Таким образом, в точках максимума (минимума) значение f больше (соответственно меньше) всех соседних значений функции В математическом анализе понятия максимума и минимума объединяются одним словом «экстремум» Сформулируем необходимое условие экстремума Если функция f имеет в точке максимум и минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т е f Корни уравнения f называются критическими точками функции f Для определения экстремума в критических точках используют достаточные условия Подробно с достаточными признаками экстремума можно ознакомиться в учебнике [, с 9 6] Мы сформулируем правила исследования на экстремум функции Находим область определения функции (ООФ) Находим критические точки Для этого первую производную приравниваем к нулю ( ) или определяем, в каких точках производная равна или не существует Проверяем, принадлежат ли критические точки ООФ Если нет, то их отбрасываем Проверяем знак левее и правее критических точек Если знак меняется с плюса на минус, то в точке максимум; с минуса на плюс, то эта точка минимума Пример Исследовать на экстремум функцию Решение ) ООФ все действительные числа ( R) ) Находим критические точки: f. ) ООФ, ООФ, ООФ ) f, если ; f, если ;

17 9 f, если ; f, если ; f, если ; f, если Значит, в точке данная функция достигает минимума; min f ; в точке экстремума нет; в точке максимум; 6 ma f Сформулируем правила для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f на отрезке a ; b: Находим ООФ Проверяем, принадлежат ли a ; b ООФ Находим критические точки Проверяем, принадлежат ли они a ; b Находим значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку a ; b, и на концах f i, f a, f b 6 Выбираем наибольшее и наименьшее значения Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции 6 на отрезке ; Решение ) ООФ все действительные числа; ) ; ООФ; ) Находим критические точки: 6; 6 ;, ; ; ) ;, ; ; ) ; ; Ответ: наиб ; наим Пример 6 Тело двигалось со скоростью v t 8t Найти наибольшую и наименьшую скорость в течение секунд движения Решение Находим производную v t 8 и критические точки t Значит, внутри отрезка ; имеется только одна критическая точка t При t функция v имеет максимум, равный 9, который и дает наибольшее значение скорости: v наиб 9 см/с Вычислим v при t и при t Получим соответственно и 6 Следовательно, наименьшее значение скорости v см/с; такую скорость тело имеет в начальный момент t наим

18 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ f При вычислении предела отношения может оказаться, что при a числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, то есть являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими величинами Говорят, что в этих случаях мы имеем дело с неопределенностями вида или Вычисление предела в этом случае называется «раскрытием неопределенности» и производится по правилу Лопиталя Правило Лопиталя Пусть заданы две функции f и и выполняются условия: ) lim f и lim или a a lim f и a lim ; a ) они имеют первые производные в окрестности точки a (за возможным исключением самой точки a ); ) и в окрестности точки a ; f f ) существует lim, тогда существует lim и имеет место равенство a a f f lim lim, a a если этот предел существует конечный или бесконечный Сущность этого правила состоит в том, что в случае «неопределенностей» вида или вычисление предела отношения функций, при соблюдении указанных требований, заменяется вычислением предела отношения их производных, которое в большинстве случаев оказывается проще В случае, когда и отношение производных приводит в «неопределенностям» вида или, снова применяют правило Лопиталя 8 Пример 7 Найти lim 6 Решение Если в данную дробь поставить вместо, то получится «неопределенность» вида Применяя правило Лопиталя, получим: 8 8 lim lim 6 6

19 lim 6 Пример 8 Найти lim 6 8 Решение Здесь имеет место неопределенность Применяем правило Лопиталя: lim lim lim lim lim В этом примере правило Лопиталя применили два раза Отметим, что правило Лопиталя применяется для раскрытия только «неопределенностей» вида и Все остальные виды «неопределенностей» (. ) сначала приводятся к «неопределенностям» или с помощью различных преобразований, а затем применяется правило Лопиталя Раскрытие «неопределенности» : Если lim f и lim, то для определения предела a a lim f надо преобразовать разность f a к виду f f, тогда f lim f lim a a f f и раскрываем по правилу Лопиталя Пример 9 Найти lim Решение Если в данную дробь поставить вместо, то получится «неопределенность» Выражение, стоящее в скобках, приводим к общему знаменателю и получаем: lim ( ) lim lim = lim = = ( ) lim ( = lim ) Раскрытие «неопределенности» Пусть lim f, lim ; a a

20 тогда f f или f, f f lim f lim lim a a f то есть «неопределенность» вида «неопределенности» вида или Пример Найти lim ln, может быть сведена к Решение При ln, а величина бесконечно малая, поэтому здесь имеет место «неопределенность» вида ln ln lim ln lim lim lim lim «Неопределенности» вида ; ; «Неопределенности» этих видов сводятся к «неопределенности» вида, которая была рассмотрена выше Это достигается с помощью тождества ln f f ; ( f ), тогда lim ln ln f a lim f lim a a предела lim ln f a Пример Найти lim cos Решение lim cos ln cos ; lim ln cos cos f и все сводится к нахождению ln cos, поэтому lim cos lim Найдем lncos sin cos lim lncos lim lim lim tg Окончательно получаем lim cos

21 а) а) ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ d I Найти производные данных функций: d 7 cos б) в) 7 arctg cos ctg д) arcsin г) б) cos ln ln г) cos д) в) sin 6 ln arcsin а) б) в) arcsin sin г) ctg д) sin 6 а) 9 б) arctg 7 в) ln sin sin г) д) 7 а) б) в) cos д) tg arctg ln г) cos 6 а) 7 а) sin б) в) 6 ln д) tg г) б) tg arcsin д) ctg arcsin7 г) 8 а) 7 arctg ln arcsin в) 7 б) ln г) tg д) arctg 9 а) г) cos tg arctg в) cos sin б) 8 cos в) arcsin ln arctg д) ctg

22 а) sin б) tg sin в) 7 г) sin д) ln tg cos d d II Найти и : d d а) ctg б) t ; t а) arccos б) а) 6 б) t ln t t ; 9t ; t ln t а) ln б) sin t ; cos t а) arcsin б) 6 а) ctg б) 7 а) arcctg б) 7t t ; sin t ; 7 t cost t ; lnt 8 а) arctg б) ln cost ; ln sin t 9 а) б) t 8 ; t t а) arcsin б) sin t ; cos t III Найти наибольшее и наименьшее значения f на отрезке a ; b: f 7 ; 6 f ; 7 f ; 7 f cos ; f ; 8 f ; f ; 9 f 6 ; f sin ; f 8 cos ; IV Исследовать методами дифференциального исчисления функции f ; используя результаты исследования, построить ее график: а) 6 а) а) 7 а) а) 8 а) 6 8 а) 9 9 а) 6 а) 8 а) 6

23 V Составить уравнения касательной и нормали к кривой f точке Сделать чертеж, 6, 7, 8,, 9. VI Найти пределы функций по правилу Лопиталя: arctg а) lim б) lim ln а) lim б) lim ctg а) lim б) lim sin sin cos sin а) lim б) lim ln cos а) lim б) lim sin 6 а) lim б) lim sin 7 а) lim б) lim ln sin sin cos 8 а) lim б) lim ctg cos sin ln 9 а) lim б) lim tg 6 а) lim cos б) lim ln ln в

24 6 Литература Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисления М: Наука, 98 9 с Сборник задач по математике для втузов / Под ред Ефимова ЛВ и Демидовича БП М: Наука, с Данко ПЕ, Попов АГ и др Высшая математика в упражнениях и задачах: В ч М: Высш шк, 986 Ч с Бронштейн ИН, Семендяев КА Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов М: Наука, с Мантуров ОВ, Матвеев НМ Курс высшей математики М: Высш шк, с 6 Фихтенгольц ГМ Курс дифференциального и интегрального исчисления Т М: Наука, с