Тема урока: "Число е и непрерывный рост капитала"

(Учащимся предлагается самостоятельно изучить данный материал, либо разобрать вместе с учителем (в зависимости от степени подготовленности класса)).

Будем считать, что если за год банк выплачивает вкладчику p%, то за полугодие он выплатит p%, за один месяц - p% и вообще за часть года p%. Выясним, как изменяется счет вкладчика, если проценты начисляются несколько раз в течение года.

Рассмотрим частный случай, например, когда банк выплачивает 100% годовых. Пусть вкладчик внес на свой счет в банке сумму S0 р. сроком на 1 год. Тогда через год на счете вкладчика окажется сумма 2 S0 р. Если банк будет начислять проценты на вклад через полугодие, т.е. два раза в год, то через год на его счете окажется сумма больше, чем 2 S0 р. Действительно, за первое полугодие банк выплатит 50%, т.е. р. и на счете вкладчика окажется сумма . За второе полугодие банк начислит р.

Оказывается, что за 2 полугодия, т.е. за один год, банк начислит вкладчику сначала р., а затем еще р., т.е. величину, числовое значение которой равно (1)

Вместе с первоначальным вкладом р. наш вкладчик в конце года оказался обладателем суммы S2 р., где

Теперь видно, что сумма оказалась на больше 2S0, которую готов был выплатить банк по прошествии одного года.

Формулы (1) и (2) показывают, что за первое полугодие вклад увеличился в 1,5 раза, а затем новая, увеличенная сумма еще раз увеличилась в 1,5 раза, т.е. начальный вклад увеличился в 1,5 2 =2,25 раза.

Выясним, как будет меняться величина вклада, если банк начнет начислять проценты, например, ежеквартально, т.е. 4 раза в год, по 25% за каждый квартал. В конце первого сумма на счете вкладчика увеличится на р. и будет равна р. Это значит, что начальный вклад р. увеличится за один квартал в раза. В конце второго периода уже новая сумма увеличится в раза и на счете окажется р. Аналогично, в конце третьего – р., а в конце четвертого квартала, т.е. через год, на счете вкладчика окажется S4 р., где . Видно, что сумма в 1,22 раза больше 2S0, которую готов был выплатить вкладчику банк через год. Дальнейшее рассуждения вкладчика очевидны: пусть банк начисляет проценты ежемесячно, т.е. 12 раз в год по в месяц. Тогда после 12 начислений, т.е. через год, на счете вкладчика окажется S12 р., При ежедневном начислении процентов, т.е. при начислении 365 раз в год по в день, на счете вкладчика через год окажется сумма

Если проценты будут начисляться каждый час, т.е раз в год, по в час, то на счете вкладчика через год окажется сумма

Если n раз в год по ставке , то на счете через год окажется сумма (3)

Вопрос: какой множитель из формулы (3) является определяющим?

Ответ: из формулы (3) видно, что определяющим является множитель

Учащимся предлагается заполнить таблицу I.

Учитель: если бы мы захотели продолжить таблицу I далее, то получили бы:

при n=100 000

а при n=1 000 000

Вопрос: какой вывод можно сделать, проанализировав таблицу I?

Ответ: из таблицы I следует, что с ростом числа n члены последовательности возрастают, неограниченно приближаясь к числу, обозначенному в математике буквой е, и равному

Учитель: при этом для всех значений n справедливо

Из формулы (3) и неравенства (4) следует, что

Вопрос: в чем состоит экономический смысл полученных результатов?

Ответ: экономический смысл полученных результатов состоит в том, что чем чаще в течение года банк начисляет проценты, тем больше становится сумма денег, лежащая на счете вкладчика.

Вопрос: что показывает неравенство (5)?

Ответ: неравенство (5) показывает, что как бы часто в течение одного года банк не начислял проценты на вклад S0, величина Sn неограниченно возрастать не может – по сравнению с S0 величина Sn больше чем в е раз увеличиться не может.

(Дописать в тетради тему занятия).